1. 什么是离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform,DFT）是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的。
为什么要引入离散傅里叶变换
在连续傅里叶变换中，原始信号是无限长，即使采样后，采样点也是无限长的，可以认为周期是无限长，因此它的频谱趋于连续，而连续的频谱不利于计算机处理，因此频率也要离散化，因此引入离散傅里叶变换DFT（Discrete Fourier Transform,DFT），即具有周期特性离散信号的傅里叶级数（将无限长的离散信号进行截短至N个采样点，然后将这N个采样点进行周期延拓，变成周期信号，这样其频率就离散了）。
离散傅里叶变换的数学形式
DFT公式：
\[X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-i \frac{2 \pi}{N} n k},(k=0,1,2, \ldots, N-1)
\]
IDFT公式：
\[x(n)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{i \frac{2 \pi}{N} n k},(n=0,1,2, \ldots, N-1)
\]
2. 离散傅里叶变换公式的数学推导
单位冲击函数序列
首先引入离散时间的单位冲激函数（impulse function）
\[\delta[n]=\left\{\begin{array}{ll}
1, & n=0 \\
0, & n \neq 0
\end{array}\right.\]
离散时间域单位冲激采样点图像：
将有限离散信号周期延拓为周期的离散信号的理由
周期信号可以用傅里叶级数展开，引入单位冲激函数后，
连续信号\(x(t)\)按照采样时间\(T_s=/frac{T}{N}\)进行抽样N次，即乘以\(\delta\left(t-n T_{s}\right)\)，并将这N个数值进行周期延拓，可以得到周期的离散信号\(x[n]\)，其周期为\(T=N*T_s\)，频率为\(f=\frac{2\pi}{T}\)。
周期离散信号公式表达为：
\[x_{s}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta\left(t-n T_{s}\right)
\]
频率为：
\[\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}
\]
可以得到离散周期信号的傅里叶级数为：
\[X[k \omega]=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left(\sum_{n=0}^{N-1} x(t) \delta(t-n T)\right) e^{-i \frac{2 \pi}{T} k t} d t
\]
由于\(\delta(t)\)函数的筛选性，有
\[X[k \omega]=\frac{1}{T} \sum_{n=0}^{N-1} x\left(n T_{s}\right) e^{-i \frac{2 \pi}{N T_{s}} k n T_{s}}=\frac{1}{N T_{s}} \sum_{n=0}^{N-1} x\left(n T_{s}\right) e^{-i \frac{2 \pi}{N} k n}
\]
令
\[X[k \omega] \cdot T_{s}=X[k]
\]
得
\[X[k]=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x\left(n T_{s}\right) e^{-i \frac{2 \pi}{N} k n}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i \frac{2 \pi}{N} k n}
\]
这就是离散周期函数的傅里叶变换，理论上离散周期函数的频谱是有无穷多的，但由于\(e^{-i \frac{2 \pi}{N} k n}\)具有周期性，一般我们只取主值区间\(0\leq k < N-1\)进行研究。
插入内容：欧拉公式
\[\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+i \sin \theta
\]
\[\mathrm{e}^{-\mathrm{i} w \theta}=\cos w \theta+i \sin w \theta
\]
离散周期傅里叶变换结果对应的频率
上面我们计算了离散周期信号的频谱，即不同频率分量下对应的系数，可得
\[k \omega=k 2\pi f=k \frac{2 \pi}{N T_{s}}=2 \pi \frac{k}{N} f_{s}
\]
\[k f = f_k = \frac{k}{N}f_s
\]
离散傅里叶变换后第k个数对应的频率是\(\frac{k}{N}f_s\)，同时离散周期傅里叶变换后，计算结果为复数形式，根据欧拉公式，使用正弦和余弦组合的形式近似表示原始信号，幅值为二者的组合，\(\operatorname{sqrt}\left(A_{-} \sin ^{\wedge} 2+A_{-} \cos ^{\wedge} 2\right)\)
3. 离散傅里叶变换的物理意义
采样定理：
采样频率大于信号中最高频率的2倍时，采样后的数字信号可以完整地恢复出原始信号。一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56~4倍。
假设信号频率为F，采样频率为\(F_s\)，采样点数为N。N个采样点，经过DFT变换后的结果为N个复数，每个复数对应一个频率\(\frac{n-1}{N}F_s\)。
对于时域信号\(f(t)\)，其傅里叶级数展开为
\[f(t)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(c_{n} e^{i \frac{n \pi t}{l}}+c_{-n} e^{-i \frac{n \pi t}{l}}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i \frac{n \pi t}{l}}
\]
在离散傅里叶变换中，n只有N个，因此：
\[f(t)=c_{0}+\sum_{n=1}^{N / 2}\left(c_{n} e^{i \frac{n \pi t}{l}}+c_{-n} e^{-i \frac{n \pi t}{l}}\right)=\sum_{n=-N / 2}^{N / 2} c_{n} e^{i \frac{n \pi t}{l}}
\]
对于DFT结果的每个点，除了第一个直流分量点，剩余的N-1个点是关于其中心共轭对称的，因此实际只需要取前一半的频谱即可，因为共轭对称的两个点的模值（振幅）相同。
参考链接：
- https://baike.c114.com.cn/view.asp?id=14120-28DD132B#l3
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/405143684
