背包问题——(0-1背包)
/** * FileName: Main * Author: Jerry * Date: 2020/1/27 18:59 * Description: 背包问题(0-1) * 问题描述: * 一个背包的总容量为V,现在有N类物品,第i类物品的重量为weight[i],价值为value[i] * 那么往该背包里装东西,怎样装才能使得最终包内物品的总价值最大。这里装物品主要由三种装法: * 1、0-1背包:每类物品最多只能装一次 * 2、多重背包:每类物品都有个数限制,第i类物品最多可以装num[i]次 * 3、完全背包:每类物品可以无限次装进包内 */ package com.ljl; public class Main { /*0-1背包问题 * @ V 背包容积 * @ N 物品种类 * @ weight 物品重量 * @ value 物品价值 * */ public static void zeroOnePack(int V,int N,int []weight,int []value) { int [][]dp = new int[N+1][V+1]; for(int i=1;i<=N;i++) { for(int j=1;j<=V;j++) { if(weight[i]>j) dp[i][j]=dp[i-1][j]; else { dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]); } } } //则容量为V的背包能够装入物品的最大值为 int maxValue = dp[N][V]; int j=V; String numStr=""; System.out.println("最大价值为"+dp[N][V]); for(int i=N;i>=1;i--) { if(dp[i][j]>dp[i-1][j]) { numStr += i+" "; j=j-weight[i]; } if(j==0) break; } System.out.println("所选货物标签为"+numStr); } public static void main(String []args) { int [] w = new int[]{0,2,3,4,5}; int [] v = new int[]{0,3,4,5,6}; int bagV =8; zeroOnePack(bagV,4,w,v); } }
1、0-1背包实现原理及代码
更多原理部分参考: https://blog.csdn.net/xp731574722/article/details/70766804
a)求解背包所含物品的最大值:
利用动态规划求最优值的方法。假设用dp[N][V]来存储中间状态值,dp[i][j]表示前i件物品能装入容量为j的背包中的物品价值总和的最大值(注意是最大值),则我们最终只需求知dp[i=N][j=V]的值,即为题目所求。
现在考虑动态规划数组dp[i][j]的状态转移方程:
假设我们已经求出前i-1件物品装入容量j的背包的价值总和最大值为dp[i-1][j],固定容量j的值不变,则对第i件物品的装法讨论如下:
首先第i件物品的重量weight[i]必须小于等于容量j才行,即
1、若weight[i]>j,则第i件物品肯定不能装入容量为j的背包,此时dp[i][j]=dp[i-1][j]
2、若weight[i]<=j,则首先明确的是这件物品是可以装入容量为j的背包的,那么如果我们将该物品装入,则有
dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]
随之而来的问题是我们要判断第i件物品装到容量为j的背包后,背包内的总价值是否是最大?其实很好判断,即如果装了第i件物品后的总价值dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]>没装之前的总价值最大值dp[i-1][j],则肯是最大的;反之则说明第i件物品不必装入容量为j的背包(装了之后总价值反而变小,那么肯定就不需要装嘛)
故,状态转移方程如下:
dp[i][j] = (dp[i-1][j] > (dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]))? dp[i-1][j]:(dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
注意:这里的前i件物品是给定次序的
b)求出背包中装入物品的编号
这里我们采用逆推的思路来处理,如果对于dp[i][j]>dp[i-1][j],则说明第i个物品肯定被放入了背包,此时我们再考察dp[i-1][j-weight[i]]的编号就可以了。
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