E - Sum of gcd of Tuples (Hard) Atcoder 162 E（容斥）

题解：这个题目看着挺吓人的，如果仔细想想的话，应该能想出来。题解还是挺好的理解的。

首先设gcd(a1,a2,a3...an)=i，那么a1~an一定是i的倍数，所以ai一共有k/i种取值。有n个数，所有就有(k/i)^n种情况。光是这样还是不行的，因为a1~an的gcd可能为j*i。所以我们要减去2*i,3*i......j*i<=k。倒着来就可以了，复杂度应该是o(nlogn)

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=1e5+7;
const ll MOD=1e9+7;
ll dp[N];
ll ksm(ll x,ll y){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=res*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        y>>=1;
    }
    return res%MOD;
}
int main(){
    ll n,k;
    cin>>n>>k;
    ll ans=0;
    for(ll i=k;i>=1;i--){
        dp[i]=ksm(k/i,n);
        for(ll j=2*i;j<=k;j+=i) dp[i]=(dp[i]-dp[j]+MOD)%MOD;
        ans=(ans+i*dp[i]+MOD)%MOD;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}