关于带权并查集

关于带权并查集，到目前为止，基本上可以分为两类，一种是点权，另一种是边权，顾名思义，就是把权重加在点上或者边上。

1 点权。点权并查集的操作是在unite中操作的，在并查集中我们想要维护的值一般都在根上，比如说要维护一树上的最大值。

 

 

因为我们维护的最大值信息都在跟上，左边那颗树根RA保存了树1的最大值，RB保存了树2的最大值，所以合并的时候我们只要考虑RA和RB的关系就可以了，即谁大让谁做父节点。（掺杂了一点dp的思想...）

code:

ll find(ll x){
    return fa[x]==x? x:fa[x]=find(fa[x]);
}

void unite(ll x,ll y){
    ll fx=find(x);
    ll fy=find(y);
    if(val[fx]>val[fy]) fa[fy]=fx;
    else  fa[fx]=fy;
}

2 边权。边权并查集一般用来维护点与点之间的关系，是针对两点而言的。

首先看find函数，因为在find函数中，我们常常用到压缩路径的操作，在压缩路径的过程中会破坏边与边之间本来的关系。如果不加修改的话，显然是不行的。

 

 

假如一颗树是这样的，我们要维护树的边权和，我们采用路径压缩，首先从x开始，一直往上走，直到走到RA,返会了RA,所以我们的int c=find(pre[x])，find(pre[x])返回的始终是RA。用一个数组sum[x]来记录x与其父节点之间的关系，sum[A]=sum[A]+sum[RA]。然后继续回溯，回溯到B处，把B链接到RA上，

那么sum[B]=sum[B]+sum[pre[B]]。就是B到其父节点和其父节点到B的爷爷节点上的值，而B到其爷爷节点的值我们已经处理过了，已经变成了pre[B]到祖先节点了，所以sum[B]的值就是B到祖先节点的值。

 

 sum[x]也变成了到x和RA的关系

最终修改成了这个样子：

 

我们在来看一下合并操作

 

假设需要在x和y之间建立一个关系z。如果说让RB做RA的父节点，我们设RA和RB之间的关系为W，那么从x到RB有两条路径分别为X->RA->RB，x->y->RB。

这俩距离应该相等，所以sum[x]+w=z+sum[y]所以w=sum[y]-sum[x]+z。

code:

 

ll find(ll x){
    if(fa[x]==x) return x;
    else {
        int c=find(fa[x]);
        sum[x]=sum[x]+sum[fa[x]];
        return fa[x]=c;
    } 
}

void unite(ll x,ll y,ll z){
    ll fx=find(x);
    ll fy=find(y);
    fa[fx]=fy;
    sum[fx]=sum[y]-sum[x]+z;
}

 

(如果哪里看不懂可以留言，做笔记的同时希望可以帮助到你...)