C - Sigma Function LightOJ - 1336 (数论)

一个让人脑洞大开的题。

题目大意比较简单，询问[1,n]有多少个数其因子和为偶数。

因子分解定理中求因子和的公式是

f(n)=(1+p1+p1^2+p1^3+...+p1^a1)(1+p2+p2^2+...+p2^a2)....

如果让因子和为偶数，首先我们看一下两个数相乘怎么才能得到偶数：

1 even*even=even 

2 even*odd  =even

3 odd*even  =even。

会有三种情况，但是如果要得到奇数只需要odd*odd=odd，所以我们不妨求因子和为奇数的情况。

即让（1+pi+pi^2+...+pi^ai）为奇数，也就是让（pi+pi^2+...+pi^ai）为偶数。这里的pi是素数，在素数中，只有2是偶数，其余全部是奇数。

首先假设一个数x是奇数，也质因子中就是不含有2。要让（1+pi+pi^2+...+pi^ai）全为奇数，只需要让（pi+pi^2+...+pi^ai）为偶数，只要偶数个奇数相加才会出现奇数所以我们的ai应该是偶数才可以。又因为x=p1^a1*p2^a2*...=(p1^(a1/2)*p2^(a2/2)...)^2，而p1^(a1/2)*p2^(a2/2)...又可以构成一个新的数c，所以x=c^2，所以x应该是一个平方数。

然后如果x是个偶数，也几就是质因子中含有2。2是一个偶数，应该让它出现奇数次（假设为d次）才行，

d=d1+1,那么d1一定是个偶数，所以x=2^(d1+1)*(p1^(a1/2)*p2^(a2/2)...)^2=2*(2^(d1/2)*p1^(a1/2)*p2^(a2/2)...)^2。所以x=2*(c^2)。

所以我们只要计算这俩x的个数就行了。。。。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int t;
    cin>>t;
    for(long long  i=1;i<=t;i++){
        long long  n;
        cin>>n;
        long long  sum=0;
        sum+=sqrt(n);
        sum+=sqrt(n/(long long )2);
        printf("Case %d: %lld\n",i,n-sum);
    }
    return 0;
}