The equation SGU - 106

题目链接：https://codeforces.com/problemsets/acmsguru/problem/99999/106

这个题是关于EXGCD特别好的一个题目。题目大意：有一个等式ax+by+c=0，输入a,b,c以及a的范围l1,r1和b的范围l2,r2，输出满足方程的整数解的个数。

题解:

　　ax+by+c=0。对这个方程，首先考虑特殊情况：

1，a=0&&b=0&c=0，任意一个x和y都可以满足，所以答案为(r1-l1+1)*(r2-l2+1)

2，a=0&&b=0，直接输出0

3，a=0，方程转换为by=-c，判断c是否为b的倍数，不是的话直接输出0。是的话在判断y的范围，如果在(l2,r2)中，答案就是（r1-l1+1）b=0同理。

4，ax+by=-c。尽量让a和b都大于0。如果说a<0的话 那么将a变为正，再改变一下a的取值范围就好了，b大概差不多。将c移过去，并尽量保证-c大于等于0

5，ax+by=c，用exgcd求解。首先如果c不是gcd(a,b)的倍数，无解。否则将方程转换为a1x+b1y=c1。a1=a/gcd(a,b)，b,c同理。用exgcd可以求出x的解集为x0+kb,y的解集为y0-ka。然后根据范围求k的取值范围。

6，求范围时会用到两个函数floor和ceil。其中floor表示向上取整如果4.9--4（小于4.9的最大整数），ceil为向下取整，3.1---4大于3.1的最大整数。然后上界取小，下界取大即可。

code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
} 
int main()
{
    ll a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    c=-c; 
    ll l1, r1, l2, r2;
    cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
    if (c < 0) {
        c = -c; a = -a; b = -b;
    }
    if (a < 0) {
        a = -a; l1 = -l1; r1 = -r1; swap(l1, r1);
    }
    if (b < 0) {
        b = -b; r2 = -r2; l2 = -l2; swap(r2, l2);
    }
    if (a == 0 && b == 0 && c == 0){
        cout << (r1 - l1 + 1) * (r2 - l2 + 1) << endl;
        return 0;
    }
    else if (a == 0 && b == 0) { cout << 0 << endl; return 0; }
    else if (b == 0) {
        if (c % b == 0 && (-c) / b <= r2 && (-c) / b >= l2) cout << r1 - l1 + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    else if (a == 0) {
        if (c % a == 0 && (-c) / a <= r1 && (-c) / a >= l1) cout << r2 - l2 + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    ll d = gcd(a, b);
    if (c % d != 0) puts("0");
    else {
        ll x,y;
//        c=-c;
        a/=d;b/=d;c/=d;
        exgcd(a,b,x,y);
        x=x*c;y=y*c;
//        cout<<a<<"--"<<b<<"=="<<c<<"--"<<d<<"==="<<x<<"--"<<y<<endl; 
        double rr1,ll1,rr2,ll2;
        rr1=double(r1);ll1=double(l1);
        rr2=double(r2);ll2=double (l2); 
        ll upx=floor((rr1-x)/b),downx=ceil((ll1-x)/b);
        ll upy=floor((y-ll2)/a),downy=ceil((y-rr2)/a);
        ll ans=min(upx,upy)-max(downx,downy)+1;
        cout<<(ans<0? 0:ans)<<endl;
    }
    return 0;
}

补充Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)的知识：

证明：ax+by=gcd(a,b)k。先计算ax+by=gcd(a,b)，求解后再成k即可。

　　　　    bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)。

　　　a%b=a-(a/b)*b（这里的除为整数除法）

　带入拆开得bx+ay-(a/b)*by=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)=ax+by，然后对应相等，x=y,y=x-(a/b)*b*y

求出的解的集合就是x:x0+kb，y:y0-ka

exgcd code:

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0) {x=1,y=0}
    else {
        exgcd(a,b,x,y);
        int t=x;
        x=y;y=t-a/b*y;
    }
}

Exgcd还可以用来求解逆元。证明过程用到了同余方程即ax%b=c，也可记为ax=c(modb)当c等与1时，x就是a的逆元。

求解过程：ax-b*y=1，带入exgcd中，x就是a的逆元，要求就是a和b必须互质。