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Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长,可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M,而前N个数都不超过M,卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S,然后向左,或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方,并捡起位于那里的礼物。 
比如当N=2,M=18时,持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤,就可以完成任务:他可以先向左跳10个单位长度,然后再连向左跳3次,每次15个单位长度,最后再向右连跳3次,每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤,则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。 
当确定N和M后,显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是,在这所有的卡片中,有多少张可以完成任务。 

Input

两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。

Output

可以完成任务的卡片数。

Sample Input

2 4

Sample Output

12

Hint

这12张卡片分别是: 
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4), 
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4) 
看了好久才略懂
题解  无非就一个方程a1*x1+a2*x2+....+an*xn+M*x(n+1)=1;
要想使方程有解__gcd(a1,a2,a3...an,M)=1;
所以我们要只要能是其最大公约数为1 的组合就可以了,那么问题来了如何求呢?
首先我们知道M个数字,N个位置,一共有M^n种选择,为__GCD为1 的情况太多了,我们可以先求出不为1 的情况然后减1,因为问题转换为了求m个数求GCD不为1的组合数
我们知道 每一组数据中都要有M,如果说那么这么多数字的公因子也一定是M的公因子,所以我们首先要对M进行素数分解

然后用容斥原理枚举最大公约数不为 1 的个数,也就是对M的所有质因子进行排列,因为最大公因子不为1,那一定是M的个别因子的组合,假设最大公约数为n,那么除了M其他N个数

必须都是N 的倍数,因此一共有M/n个数可以选择(由于这里是质因子,我们直接除就可以啦,不用求LCM啦)。。共有KSM(M/n,N)中选择(快速幂)

然后就是容斥的奇加偶减 最后一步 用总的减去gcd不为1的就是最后答案

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1E6+7;
ll arr[N];

ll ksm(ll x,ll y){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=res*x;
        x=x*x;
        y>>=1;
    }
    return res;
}

ll zfj(ll m){
    ll pos=0;
    for(ll i=2;i*i<=m;i++){
        if(m%i==0){
            arr[pos++]=i;
            while(m%i==0){
                m/=i;
            }
        }
    }
    if(m>1){
        arr[pos++]=m;
    }
    return pos; 
}
int main(){
    ll n,m;
    cin>>n>>m;
    ll pos=zfj(m);
    ll s=0;
    for(int i=1;i<(1<<pos);i++){
        ll cnt=0;
        ll sum=1;
        for(int j=0;j<pos;j++){
            if(1&(i>>j)){
                cnt++;
                sum*=arr[j];
            }
        }
        if(cnt&1) {
            s+=ksm(m/sum,n);
        }
        else {
            s-=ksm(m/sum,n);
        }
    }
    printf("%lld\n",ksm(m,n)-s); 
    return 0;
}

 

posted on 2019-08-15 20:38  Target--fly  阅读(181)  评论(0编辑  收藏  举报