线性最小二乘法(附MATLAB代码)
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用n次多项式拟合给定数据.
注意:对于非线性曲线,例如指数曲线\(y=a_{1}e^{a_{2}x}\),拟合前需做变量代换,化为对\(a_1,a_2\)的线性函数.
本文主要从如何使用MATLAB实现最小二乘法,首先给出今天重点使用的两个函数。
p=polyfit(x,y,n):最小二乘法计算拟合多项式系数。x,y为拟合数据向量,要求维度相同,n为拟合多项式次数。返回p向量保存多项式系数,由最高次向最低次排列。y=polyval(p,x):计算多项式的函数值。返回在x处多项式的值,p为多项式系数,元素按多项式降幂排序。
比如拟合下面这组数据
x=[9,13,15,17,18.6,20,23,29,31.7,35];
y=[-8,-6.45,-5.1,-4,-3,-1.95,-1.5,-0.4,0.2,-0.75];
先用matlab将这组离散点画出来,
plot(x,y,'o')
嗯,大概这个样子,这时我们想使用一次函数拟合上述曲线,可使用以下代码
clear
clc
x=[9,13,15,17,18.6,20,23,29,31.7,35];
y=[-8,-6.45,-5.1,-4,-3,-1.95,-1.5,-0.4,0.2,-0.75];
coefficient=polyfit(x,y,1); %用一次函数拟合曲线,想用几次函数拟合,就把n设成那个数
y1=polyval(coefficient,x);
plot(x,y,'o',x,y1,'-')
得到的结果是
coefficient=[0.2989,-9.4107]
所以得到的一次函数为
y=0.2989*x-9.4107
同理如果用二次函数拟合该曲线,得到的各项系数为
coefficient=[-0.0157 1.0037 -16.2817]
所以得到的二次函数为
y=-0.0157*x^2+1.0037*x-16.2817
其他阶数依此类推。
但是使用polyfit(x,y,n)函数有一个注意事项:
向量x(其中元素作为自变量)中不重复的元素个数m,和拟合阶数k需要满足m>=k+1.简单分析:k阶拟合需要确定k+1个未知参数(如1阶拟合y = ax + b需要确定a和b两个参数),故而至少需要k+1个方程,故而需要至少k+1个不同的已知数对(x,y),由于函数中x只能对应一个y,故而需要至少k+1个不同的x
举个例子,比如说我们想用9阶多项式拟合上述曲线时,我们发现拟合的曲线是正常的,得到的各项系数也是正常的
但是当我们用10阶多项式拟合曲线时,此时各项系数如下,得到的曲线如下
很明显出现了问题,所以使用polyfit(x,y,n)函数时要严格遵守上述事项。