并查集(Disjoint Sets)
并查集：(Disjoint Sets)是一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多。一般采取树形结构来存储并查集，并利用一个rank数组来存储集合的深度下界，在查找操作时进行路径压缩使后续的查找操作加速。这样优化实现的并查集，空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。它支持以下三中种操作:
－Union (Root1, Root2) //并操作；把子集合Root2并入集合Root1中.要求：Root1和 Root2互不相交,否则不执行操作.
－Find (x) //搜索操作；搜索单元素x所在的集合,并返回该集合的名字.
－UFSets (s) //构造函数。将并查集中s个元素初始化为s个只有一个单元素的子集合.
－对于并查集来说，每个集合用一棵树表示。
－集合中每个元素的元素名分别存放在树的结点中，此外，树的每一个结点还有一个指向其双亲结点的指针。
－设 S1= {0, 6, 7, 8 }，S2= { 1, 4, 9 }，S3= { 2, 3, 5 }
－为简化讨论，忽略实际的集合名，仅用表示集合的树的根来标识集合。
－为此，采用树的双亲表示作为集合存储表示。集合元素的编号从0到 n-1。其中 n 是最大元素个数。在双亲表示中，第 i 个数组元素代表包含集合元素 i 的树结点。根结点的双亲为-1，表示集合中的元素个数。为了区别双亲指针信息( ≥ 0 )，集合元素个数信息用负数表示。
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下标： |
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集合S1, S2和S3的双亲表示:
S1 ∪ S2的可能的表示方法
const int DefaultSize = 10;
class UFSets { //并查集的类定义
private:
int *parent;
int size;
public:
UFSets ( int s = DefaultSize );
~UFSets ( ) { delete [ ] parent; }
UFSets & operator = ( UFSets const & Value );//集合赋值
void Union ( int Root1, int Root2 );
int Find ( int x );
void UnionByHeight ( int Root1, int Root2 ); };
UFSets::UFSets ( int s ) { //构造函数
size = s;
parent = new int [size+1];
for ( int i = 0; i <= size; i++ ) parent[i] = -1;
}
unsigned int UFSets::Find ( int x ) { //搜索操作
if ( parent[x] <= 0 ) return x;
else return Find ( parent[x] );
}
void UFSets::Union ( int Root1, int Root2 ) { //并
parent[Root2] = Root1; //Root2指向Root1
}
Find和Union操作性能不好。假设最初 n 个元素构成 n 棵树组成的森林，parent[i] = -1。做处理Union(0, 1), Union(1, 2), …, Union(n-2, n-1)后，将产生如图所示的退化的树。
执行一次Union操作所需时间是O(1)，n-1次Union操作所需时间是O(n)。若再执行Find(0), Find(1), …, Find(n-1), 若被
搜索的元素为i，完成Find(i)操作需要时间为O(i)，完成 n 次搜索需要的总时间将达到
Union操作的加权规则
为避免产生退化的树，改进方法是先判断两集合中元素的个数，如果以 i 为根的树中的结点个数少于以 j 为根的树中的结点个数，即parent[i] > parent[j]，则让 j 成为 i 的双亲，否则，让i成为j的双亲。此即Union的加权规则。
parent[0](== -4) < parent[4] (== -3)
void UFSets::WeightedUnion(int Root1, int Root2) {
//按Union的加权规则改进的算法
int temp = parent[Root1] + parent[Root2];
if ( parent[Root2] < parent[Root1] ) {
parent[Root1] = Root2; //Root2中结点数多
parent[Root2] = temp; //Root1指向Root2
}
else {
parent[Root2] = Root1; //Root1中结点数多
parent[Root1] = temp; //Root2指向Root1
}
}
使用加权规则得到的树
