Codeforces Round #630 (Div. 2) F. Independent Set （树型dp）

https://codeforces.com/contest/1332/problem/F

 

题中描述是一棵树，给出树上子图存在独立点集的定义：G‘为全图G的子图，G‘在存在点对(u,v)，E(u,v)不存在。现求G中有多少个子图可以满足存在独立点集？求所有的方案数。

 

题目抽象为：在树中的子树中选出一些点，它们互相之间不存在直接的连边，求这样的点集方案数。考虑树型dp做法。设计状态dp[u][0]表示当前结点u不作为独立点的方案数，dp[u][1]表示当前结点u作为独立点的方案数。

假设不考虑子图，那么dp[u][0] = ∏ dp[v][0] + dp[v][1]，dp[u][1] = ∏ dp[v][0]，这是一个很显然的树型dp转移方程，其中v是u的儿子结点。

由于题中说明是求子图的方案数，那么还需要考虑u和v不连边的情况了。当u和v不连边去构成独立子图时，任何的结点x不能单独作为孤立的独立点存在，也就是说x如果作为独立点，不和任何结点连边是不合法的。再设计状态f[u]为u结点作为孤立点集存在的方案数，f[u]显然是从儿子结点v转移而来，f[u] = ∏ dp[v][0] + dp[v][1] - f[v] 。为什么转移方程要减去f[v]?是因为结点v作为独立点出现时，不能单独存在，所以要令dp[v][1] - f[v]。

那么新的转移方程就是 ：

dp[u][0] = ∏ dp[v][0] + dp[v][1] + dp[v][0] + dp[v][1] - f[v]  （需要考虑u和v不连边的情况）

dp[u][1] = ∏ dp[v][0] + dp[v][0] + dp[v][1] - f[v]  （同样需要考虑u和v不连边的情况，此时v可以是独立点）

f[u] = ∏ dp[v][0] + dp[v][1] - f[v]

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e5+5;
const ll mod = 998244353;
vector<int> g[maxn];
ll dp[maxn][3],f[maxn];
void dfs(int cur,int fa){
    dp[cur][0] = dp[cur][1] = f[cur] = 1;
    for(int i = 0;i<g[cur].size();i++){
        int v = g[cur][i];
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,cur);
        dp[cur][0] = dp[cur][0] * ((2 * dp[v][0] + 2 * dp[v][1] - f[v])%mod) % mod;
        dp[cur][1] = dp[cur][1] * ((2 * dp[v][0] + dp[v][1] - f[v]) % mod) % mod;
        f[cur] = f[cur] * ((dp[v][0] + dp[v][1] - f[v]) % mod) % mod;
    }
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i<n;i++){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,0);
    cout<<(dp[1][0]+dp[1][1]-f[1]-1+3*mod)%mod;
    return 0;
}