codeforces 1284E. New Year and Castle Construction（极角排序+扫描枚举）

链接 https://codeforces.com/problemset/problem/1284/E

题意：平面上有ｎ个点，问你存在多少组四个点围成的四边形 严格包围某个点P的情况。不存在三点共线。

思路：首先看数据范围是2500，可以做n^2的枚举，我们可以枚举两遍n。正面求解有些困难，反面求解可以考虑有多少组子集不满足题目要求，拿总的子集数量减去不满足的就是答案。

那么考虑不满足题意的点集。

首先如果对于一对点P和P1，让它们连线，以P为基准，相对度数为0度，枚举P和P1这个条线以上的所有点，假设枚举出n个点，n个点加P1,从中选出4个点，这4个点组成的四边形必定不含点P，以此性质

首先做一遍极角排序，然后固定一条边，以这条边为0度，开始扫描这条边0到180度的所有点，然后从中任意选出3个点C（n,3），与P1组成的四边形便不封闭包围P1，统计所有不满足条件的点集，用总体点集

个数C（n,5）- 不满足的组合个数 就是答案了。

 

 

 

 （如图所示，P1,P2,P3,P4组成的四边形不封闭包围点P。）

 

AC代码:

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const long double pi = acos(-1.0L);
const int maxn = 2e3+600;
long double x[maxn],y[maxn];
int main()
{
    int n;cin>>n;
    ll ans = (ll)n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)/24; 
    for(int i = 0;i<n;i++){
        ll xi,yi;
        cin>>xi>>yi;
        x[i] = xi,y[i] = yi;
    }
    for(int i = 0;i<n;i++){
        vector<long double> v;
        for(int j = 0;j<n;j++){
            if(i == j) continue;
            v.push_back(atan2(y[j]-y[i],x[j]-x[i])); //算一下角度 
        }
        sort(v.begin(),v.end());//做极角排序 
        int k = n - 1 , cur = 0;
        for(int j = 0;j<k;j++){
            while(cur < j+k){ //枚举点个数增加一倍 
                long double angle = v[cur%k] - v[j];//枚举两条边的夹角 
                if(angle < 0) angle+=2*pi;//如果角度小于0,则增加2*pi转一圈 
                if(angle < pi) cur++;//如果该点在枚举的这条线上面，则cur++ 
                else break;
            }
            long long cnt = cur - j - 1;
            ans-=1ll*cnt*(cnt-1)*(cnt-2)/6;
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}