MATLAB实现最小二乘法

 MATLAB实现

例一：时间与位移的关系

% 小车时间(xi)和位移关系(yi)关系
x = [0 1 2 3 4 5 6  7  8  9];
y = [0 2 4 7 8 9 12 14 15 18];
%{
    subplot(m,n,p) 其中前两个参数 m，n是指将你的图分成 m*n个栅格，
    每个栅格用 p 来编号，而编号是按行（横着）编号的，所以，当 m = 2，n = 2时编号规则为
        1 | 2
        ------
        3 | 4
    所以subplot(2,2,[1 3])，就说明你这一个子图占据的是 1， 3两个栅格，
    而subplot(2,2,2)说明子图仅占据第2个栅格.
%}
subplot(1,2,1);
plot(x,y,'o');
% 图形的一些设置
xlabel('时间（秒）');
ylabel('位移（米）');
title('原始数据离散点')  
%{
    grid on：是打开网格
    grid off：是关闭网格
    而grid是切换两种状态,如果在grid off的状态下,输入grid,相当于grid on
    相反,如果在grid on状态下输入grid 等价于grid off
%}
grid on
%{
    polyfit函数是matlab中用于进行曲线拟合的一个函数。其数学基础是最小二乘法曲线拟合原理。
    曲线拟合：已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值。
    调用方法：polyfit(x,y,n)。用多项式求过已知点的表达式，
        其中x为源数据点对应的横坐标，可为行向量、矩阵；
            y为源数据点对应的纵坐标，可为行向量、矩阵；
            n为你要拟合的阶数，一阶直线拟合，二阶抛物线拟合，并非阶次越高越好，看拟合情况而定。
    多项式在x处的值y可用下面程序计算：y=polyval(a,x,m)
%}
p = polyfit(x,y,1)
% 0:0.01:9    起始为0，终点为9，步长0.01
x1 = 0:0.01:9;
y1 = polyval(p,x1);
x2 = 0:0.01:9;
%{
    MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为：  yi= interp1(x,y,xi,'method')           
    其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， 
    'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种： 
        'nearest'是最邻近插值， 'linear'线性插值； 'spline'三次样条插值； 'pchip'立方插值．缺省时表示线性插值
    注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
%}
y2 = interp1(x,y,x2,'spline');
subplot(1,2,2);
plot(x1,y1,'k',x2,y2,'r');
xlabel('时间（秒）');
ylabel('位移（米）');
title('黑线为最小二乘法拟合，红色为插值法拟合')  
grid on

例二：温度与时间的关系

%{
    例如：对某日隔两小时测一次气温。设时间为ti,气温为Ci，i = 0，2 ，4，…，24。数据如下：

                    表2 温度(Ci)随时间(ti)变化关系
    -----------------------------------------------------------
    ti      0    2   4    6   8    10  12    14  16    18  20    22  24
    -----------------------------------------------------------
    ci      15  14  14  16  20  23  28  27  26  25  22  18  16
    -----------------------------------------------------------
%}
x = [0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24]
y = [15 14 14 16 20 23 26 27 26 25 22 18 16]
plot(x,y,'o')
grid on
%{
    hold on 和hold off，是相对使用的
    前者的意思是，你在当前图的轴（坐标系）中画了一幅图，再画另一幅图时，原来的图还在，与新图共存，都看得到
    后者表达的是，你在当前图的轴（坐标系）中画了一幅图，此时，状态是hold off,则再画另一幅图时，
    原来的图就看不到了，在轴上绘制的是新图，原图被替换了
%}
hold on

% 三阶拟合  得到的 p = -0.0061    0.1474   -0.0246   13.7390是个多项式的系数
% 即拟合的曲线y = -0.0061*x3 + 0.1474*x2 - 0.0246*x + 13.7390 （其中x3表示x的3次方，x2同理）
p = polyfit(x,y,3)
x1 = 0:0.01:24
y1 = polyval(p,x1)
plot(x1,y1,'r')
% axis坐标轴范围设置
axis([0 24 12 28])
xlabel('温度（度）');
ylabel('时间（点）');
title('温度变化图','position', [18,10])