[SDOI 2017] 苹果树
一些闲话：前排真的超级热热热热热热热热热热热热热热热热热热。要热死了要热死了要热死了 ☹️😖😵💫。
神奇背包。
可以发现 \(t-h\leqslant k\) 是一个非常辣手的限制，有了它至少需要记录选取的最深深度和 \(t\)，这就直接有 \(n^2\) 的空间复杂度了。所以考虑用一些奇怪的手段把它优化掉。
考察树形依赖限制，可以发现在一个点取苹果后，至少要在它到根的路径上每一个点中取一个苹果，这就和深度挂上了钩。那么题意实际上转化成了钦定一个点作为选取点中深度最深的点，它向上到根的链所包含的点必选且 选一次 不计入苹果个数，其它的点（当然也包含链上的点，只是个数 \(a_i'=a_i-1\)）不能选超过 \(k\) 个。
另外也可以发现，钦定的点一定是叶子节点，因为向下延伸可以无花费地增加一个苹果。
以这条链为分界线，可以将这棵树分为三部分：链左侧，链上，链右侧。事实上可以用 \(\rm dfs\) 序来考虑这个问题，算出链左侧与链右侧的 \(\mathtt{dp}\) 值，再枚举叶子节点把它们拼在一起。
这里以链左侧为例 —— 令 \(dp(i,j)\) 为按 \(\rm dfs\) 序考虑到 \(i\)，体积为 \(j\) 的最大收益，并假定 \(i\) 到根的链就是最终选择的链。所以对于 \(u\rightarrow v\) 的父子关系，首先将 \(u\) 的 \(\mathtt{dp}\) 值传给 \(v\)，然后 \(v\) 加入 \(a_v-1\) 个 \(v\) 上的苹果；等 \(\mathtt{dp}\) 完 \(v\) 这棵子树后进行回传，加入 \(1\) 个 \(v\) 上的苹果，因为此时 \(v\) 一定不在链上了，这里 需要注意的是，这一个苹果是强制加入的，为了满足树形依赖限制。前一个 \(\mathtt{dp}\) 可以单调队列优化，所以复杂度是 \(\mathcal O(k)\) 的。
对于链右侧，需要先将之前的边倒序遍历。其次需要在回退的时候才加入 \(a_u-1\) 个 \(u\) 上的苹果，这样才能和链右侧恰好拼起来。
P6326 Shopping
一些闲话：依稀记得之前做过一道类似的题，但是怎么都找不到了 🥲。
\(\text{Update}\)：找到那篇博客了（就是这道题），竟然还是 \(2\) 年前写的。那时候还在 \(\rm csdn\) 上呢。
首先题目限制实际上可以转化为选一个连通块，于是有一个 \(\mathcal{O}(nm^2)\) 的 \(\tt dp\)：令 \(dp(i,j)\) 为以 \(i\) 为子树（必选 \(i\)），花费为 \(j\) 的最大价值。每个连通块都在它深度最浅的点上计数了。可以发现，背包的瓶颈在于两个背包的合并是 \(\mathcal O(m^2)\) 的。
插入一个元素可以用单调队列做到 \(\mathcal O(m)\)，所以我们尝试用 dfs 序考虑这个问题。但是用 dfs 序也就意味着只能考虑 dfs 序为 \([1,i]\) 或 \([i,n]\) 的一段区间，不妨就考虑 \([1,i]\) 区间，我们无法求出某一个子树的贡献，只能算出根节点（也就是 dfs 序为 \(1\)）的贡献，且时间复杂度为 \(\mathcal O(nm)\).
于是可以想到点分治。复杂度降到 \(\mathcal O(nm\log n)\).
CF1286E Fedya the Potter Strikes Back
一些闲话：🏊🏻🧊☁️ 讲的 \(\text{q-}\)模拟根本听不懂啊……自闭了。
首先考虑将区间右端点移动到 \(r\) 对可疑度之和的增量，实际上就是做一个 \(\tt{kmp}\)，从 \(r\) 开始不断跳 \(\rm nxt\) 进行统计，不过这样做肯定是会 TLE 的。考虑维护当前末尾不断跳 \(\rm nxt\) 形成的集合 \(S\)，同时维护这个集合的可疑度之和 \(w\)。把集合中的元素编号成 \(s_1,s_2,\dots, s_k\)，将右指针移到 \(r\) 时，对集合做出如下操作：
- 如果 \(\bold{str}(s_i+1)\ne \bold{str}(r)\)，需要从集合中删除此元素，同时还需要维护 \(w\)；
- 如果 \(\bold{str}(1)=\bold{str}(r)\)，可以向集合中加入元素。
最后，需要把在集合中的元素的可疑度与 \(w_r\) 取 \(\min\).
如何快速删除元素呢？维护 \(\text{dif}(u)\) 表示离 \(u\) 最近的 \(\tt kmp\) 树上的 祖先 \(v\)，满足 \(\bold{str}(u+1)\ne \bold{str}(v+1)\)，这个函数可以在拓展到 \(i+1\) 时递推第 \(i\) 项。利用 \(\text{dif}(u)\) 进行跳跃，每次复杂度就是后一位与 \(\bold{str}(r)\) 不同的集合元素个数，而且它们被遍历后就会被删除。同时，由于每次至多增加一个集合元素，所以均摊复杂度是 \(\mathcal{O}(n)\) 的。
维护 \(w\) 是经典的，可以做一个单调栈 + 二分来定位当右指针为 \(r\) 时，区间 \([i,r]\) 的可疑度。
如何与 \(w_r\) 取 \(\min\) 呢？直接用 map/set 维护 \((\)可疑度\(\text{, }\)元素个数\()\)，暴力修改即可。因为每种权值只有可能被取 \(\min\) 一次，所以复杂度是对的。总复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\).
