题目描述
\(\sf Oxide\) 拥有着一片大肠树森林。她非常爱整洁，所以这片森林是 \(n\) 行 \(m\) 列的，其中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的大肠树的肠数是 \(w_{i,j}\)。
\(\sf Oxide\) 有时会去看看她精心培育的大肠树森林，数数树上的肠数。如果一个矩形包含 \(i\) 行 \(j\) 列，且矩形内的肠数最大值减去肠数最小值为 \(i\times j-1\)，她数的肠数就会增加 \(i\times j\)。
现在 \(\sf Oxide\) 想知道，如果她把大肠树森林中的所有矩形巡视一次，总共能获得多大的肠数。由于 \(\sf Oxide\) 的肠数实在是太大了，你只需要输出答案对 \(998244353\) 取模的结果。
注意，所有的肠数 互不相同，且 \(1\le w_{i,j}\le n\times m\)。
解法
以下是博主的碎碎念，不想看的可以跳过。
也不知是怎的，先开始对着 \(n\times m\le 10^4\) 的部分分看了半天。模拟颅内思考：枚举矩形就是 \(10^8\)，可是我还要求矩形的 \(\min,\max\) 啊！怎么办啊怎么办啊怎么办啊！当时还想过用矩形的权值和来判断，后来发现枚举的时候就可以顺带算了… 感觉自己又脑瘫了。
然后开始想 \(n=1\) 的部分分。想做一个双指针，增大 \(r\) 时查看对 \(l\) 的改变，但是发现相邻状态根本就没有继承性啊！然后我就死了。
\(\text{Step 1}\)：\(n=1\)
从小到大枚举 \(r\)，那么 \([l,r]\) 合法的条件就是 \(\max_{l,r}-\min_{l,r}=r-l+1\)。
由于这类型的维护可以维护 \([l,r]\) 与 \(l\) 自带的数据，我们不妨将单独的 \(r\) 割裂出来，令 \(f(l)=\max_{l,r}-\min_{l,r}+l\)。数字是互不相同的，所以有 \(f(l)\ge r+1\)，所以我们只需要用线段树维护 \(f(l)\) 的 \(\min\)，以及 \(f(l)=\min\) 的 \(l\) 的个数，\(l\) 的和。
现在问题变成了维护 \(\max_{l,r},\min_{l,r}\)，这个可以用单调栈维护。具体一点，\(\max\) 对应的单调栈维护一个递减序列，当新增一个比序列末尾更大的数 \(x\) 时进行弹栈，更新 \(\max\) 是弹出数字的 \(l\) 的 \(\max\) 为 \(x\)。
这是 \(\mathcal O(m\log m)\) 的。
\(\text{Step 2}\)：\(n\le 2\times 10^5\)
沿袭上文的做法，我们可以枚举矩形的上下边界 \([L,R]\)，这样每次新增 \(r\)，插入的数就不是 \(w_r\)，而是 \(\max_{i=L}^R w_{i,r}\)，除此之外，合法条件的 \(r-l+1\) 应该还要再乘一个系数。
这样的复杂度看上去爆炸，实际上我们还可以做一点优化。令 \(n\) 为 \(n,m\) 中较小的那个数，这样我们可以保证 \(n\le \sqrt{2\times 10^5}\)，上下边界在 \(n\) 上枚举。令 \(V=2\times 10^5\)，总复杂度是 \(\mathcal O(V\sqrt V\cdot \log m)\)。不过这肯定是过不去的。
题解给出了一种非常 \(\rm nb\) 的做法。
对于大肠树森林，我们在它的外面围一圈大肠树，这样我们就得到了 \((n+1)\cdot (m+1)\) 个框，每个框里有 \(4\) 棵大肠树（一个框被它的左上角表示）。假设枚举了 权值 区间 \([l,r]\)，将肠数在区间内的大肠树染黑，其他都是白色。那么它合法的充要条件就是恰好有 \(4\) 个框有 \(1\) 棵黑色大肠树，其它框都是 \(2/4\) 棵黑色大肠树。
还是从小到大枚举 \(r\)，记 \(f(l)\) 为将权值区间 \([l,r]\) 染色，有多少个框内有 \(1/3\) 棵黑色大肠树。由于 \(f(l)\ge 4\)，所以我们还是只需要用线段树维护 \(f(l)\) 的 \(\min\)，以及 \(f(l)=\min\) 的 \(l\) 的个数，\(l\) 的和。
新增 \(r\) 时，只有 \(4\) 个框改变。对于每个框，更改一下 \(l\) 的区间即可。具体就是将框内的数排序，如果新增的 \(x\) 等于其中某个数，说明有些 \(l\) 区间的黑色大肠树个数的奇偶性改变。
这是 \(\mathcal O(nm\log nm)\) 的，但是评测姬真的贼慢，需要卡一卡。
给出一些温馨提示：
- 不要用结构体。
- 少取模。
- 减少
if语句，尤其是在线段树中。
代码
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include <cstdio>
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
template <class T>
inline T read(const T sample) {
T x=0; char s; bool f=0;
while((s=getchar())>'9' or s<'0')
f|=(s=='-');
while(s>='0' and s<='9')
x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),
s=getchar();
return f?-x:x;
}
template <class T>
inline void write(const T x) {
if(x<0) {
putchar('-'),write(-x);
return;
}
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
}
typedef long long ll;
const int mod=998244353,maxn=2e5+5,inf=1e9;
int n,m,pos[maxn],buc[4],**w;
int dir[4][2]={{0,0},{-1,0},{0,-1},{-1,-1}};
int mn[maxn<<2],cnt[maxn<<2],la[maxn<<2];
ll s[maxn<<2];
#define getMemo(a) do { \
a=new int*[n+2]; \
for(int i=0;i<=n+1;++i) \
a[i]=new int[m+2]; \
} while(0);
inline int inc(int x,int y) {
return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
inline int dec(int x,int y) {
return x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
inline int Min(int x,int y) {
return x<y?x:y;
}
void pushUp(int o) {
int l=o<<1,r=o<<1|1;
mn[o]=Min(mn[l],mn[r]);
s[o]=cnt[o]=0;
mn[o]==mn[l]?(
s[o]=s[l],
cnt[o]=cnt[l]
):1;
mn[o]==mn[r]?(
s[o]=s[o]+s[r],
cnt[o]=cnt[o]+cnt[r]
):1;
}
void pushDown(int o) {
int l=o<<1,r=o<<1|1;
la[o]?(
la[l]=la[l]+la[o],
la[r]=la[r]+la[o],
mn[l]=mn[l]+la[o],
mn[r]=mn[r]+la[o],
la[o]=0
):1;
}
void modify(int o,int l,int r,int L,int R,int k) {
if(L>R) return;
if(l>=L and r<=R) {
la[o]=la[o]+k;
mn[o]=mn[o]+k;
return;
}
int mid=l+r>>1;
pushDown(o);
if(L<=mid) modify(o<<1,l,mid,L,R,k);
if(mid<R) modify(o<<1|1,mid+1,r,L,R,k);
pushUp(o);
}
void build(int o,int l,int r) {
if(l==r) {
cnt[o]=1,s[o]=l;
mn[o]=inf;
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(o<<1,l,mid);
build(o<<1|1,mid+1,r);
pushUp(o);
}
void Modify(int r,int c,int v) {
for(int i=0;i<4;++i)
buc[i]=w[r-dir[i][0]][c-dir[i][1]];
for(int i=0;i<3;++i)
for(int j=0;j<3;++j)
buc[j]>buc[j+1]?(
buc[j]^=buc[j+1]^=buc[j]^=buc[j+1]
):1;
if(buc[0]==v)
modify(1,1,n*m,1,v,1);
else if(buc[1]==v)
modify(1,1,n*m,buc[0]+1,v,1),
modify(1,1,n*m,1,buc[0],-1);
else if(buc[2]==v)
modify(1,1,n*m,buc[1]+1,v,1),
modify(1,1,n*m,buc[0]+1,buc[1],-1),
modify(1,1,n*m,1,buc[0],1);
else if(buc[3]==v)
modify(1,1,n*m,buc[2]+1,v,1),
modify(1,1,n*m,buc[1]+1,buc[2],-1),
modify(1,1,n*m,buc[0]+1,buc[1],1),
modify(1,1,n*m,1,buc[0],-1);
}
int main() {
n=read(9),m=read(9); getMemo(w);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
pos[w[i][j]=read(9)]=(i-1)*m+j;
for(int i=0;i<=n+1;++i)
w[i][0]=w[i][m+1]=n*m+1;
for(int i=0;i<=m+1;++i)
w[0][i]=w[n+1][i]=n*m+1;
ll ans=0;
build(1,1,n*m);
for(int i=1;i<=n*m;++i) {
int r=(pos[i]-1)/m+1,c=pos[i]-(r-1)*m;
modify(1,1,n*m,i,i,-inf);
for(int j=0;j<4;++j)
Modify(r+dir[j][0],c+dir[j][1],i);
if(mn[1]==4)
ans=inc(ans,dec(1ll*(i+1)*cnt[1]%mod,s[1]%mod));
}
print(ans,'\n');
return 0;
}
