前言
之前每次需要计算强连通分量的时候都用的 \(\text{Kosaraju}\)，主要是感觉 \(\rm Tarjan\) 好玄学，我的智商驾驭不了这个玩意儿。
但是，\(\rm Tarjan\) 真的太强大了！随便做道图论都有它！于是只有重学一遍，我真的是被逼的。
无向图
割点
先上代码吧：
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!dfn[i]) tarjan(i,i);
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++idx;
int son=0;
for(int i=0;i<e[u].size();++i) {
int v=e[u][i];
if(v==fa) continue;
if(!dfn[v]) {
++son;
tarjan(v,u);
if((u^fa) and low[v]>=dfn[u])
cut[u]=1;
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(u==fa and son>1) cut[u]=1;
}
定义 \(\text{dfn}_u\) 是遍历 \(u\) 的时间戳，\(\text{low}_u\) 是 \(u\) 在 不经过父亲 时能到达的时间戳最小的点的时间戳，初始时 \(\text{low}_u=\text{dfn}_u\)。我们先构建出一棵 \(\rm dfs\) 树，由于边是双向的，容易发现边只有树边与返祖边。这也是循环中的 if-else 判断。
那么当 \(u\) 通过树边连接到 \(v\) 时，如果 \(\text{low}_v\ge \text{dfn}_u\)，就说明 \(v\) 子树中没有点可以不经过 \(u\) 到达上层，所以 \(u\) 是割点。需要注意的是，每个连通块的根都满足这一条件，但显然并不是所有根都是割点，我们需要额外判断：记录 \(son\) 表示根的 不经过根无法连通 的儿子的个数，那么当 \(son>1\)，根即为割点。
为什么当 \(u\) 通过返祖边连接到 \(v\) 时，\(\text{low}_u\) 被 \(\text{dfn}_v\) 更新呢？首先强调一下 else 中还藏着一个 \(v\neq \rm fa\) 的判断。问题在于，用 \(\text{low}_v\) 更新并不能保证在返回时用树边更新 \(\text{low}_x\) 时（假设 \(x\) 是 \(v\) 的某个祖先）的用于更新的值不经过 \(x\) 的父亲。
很容易列举的反例是 \((x,y),(y,z),[z,x]\)（\([]\) 表示返祖边），如果 \(x\) 在进入 \(y\) 的子树之前进入另一个子树，更新了自己的 \(\rm low\) 且比自己的 \(\rm dfn\) 小，那么 \(\text{low}_y\leftarrow \text{low}_z\leftarrow \text{low}_x\)，我们就会以为 \(y\) 可以不通过 \(x\) 往上。
点双连通分量
懂了割点之后，这个还是很好理解的。需要注意根是孤儿的情况，而且一个割点可能被多个点双连通分量包含。
此时根不一定是割点，但我们仍需要利用它将剩余的点塞进一个点双连通分量中。另外，while() 循环应到 \(v\) 停止而不是 \(u\)，不然会塞进去一些另外的点。
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!dfn[i]) tarjan(i,i), --tp;
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++idx; stk[++tp]=u;
if(u==fa and !head[u]) {
dcc[++Dcc].push_back(u);
return;
}
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
int v=e[i].to;
if(v==fa) continue;
if(!dfn[v]) {
tarjan(v,u);
if(low[v]>=dfn[u]) {
dcc[++Dcc].push_back(u);
while(stk[tp]^v)
dcc[Dcc].push_back(stk[tp--]);
dcc[Dcc].push_back(stk[tp--]);
}
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
桥
若 \(u\rightarrow v\) 是一条返祖边，仍然是用 \(\text{dfn}_v\) 来更新，原因同上。需要注意 重边 的问题，这可能会使桥变成非桥。
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++idx;
bool Vis = false;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
int v=e[i].to;
if(!dfn[v]) {
tarjan(v,u);
if(low[v]>dfn[u])
then (u,v) is a bridge.
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(v==fa and !Vis) Vis = true;
else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
边双连通分量
此时不在判断 low[v]>dfn[u] 的时候求解，会漏算孤儿的情况。
/*
网上很多代码有 inStack 数组，不太明白用来干嘛...
*/
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++idx; stk[++tp]=u;
bool Vis = false; int dot;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
int v=e[i].to;
if(!dfn[v]) {
tarjan(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(v==fa and !Vis) Vis = true;
else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(low[u]==dfn[u]) {
++scc;
do {
bl[dot=stk[tp--]]=scc;
} while(dot^u);
}
}
有向图
强连通分量
此时也在循环外求解 \(\rm scc\)，不然会漏算一些情况。
另外，还需要使用 inS[] 数组。只有 \(\text{inS}_v\) 为真时才能更新，考虑满足这个条件的点一定满足 "已遍历过" 且 "不在栈里"，它已经被划分到一个强连通分量内了。这时的 \(\text{dfn}_v\) 更小并不是可以走到 \(u\) 的祖先，而是这个强连通分量比 \(u\) 所在的先遍历到，所以不能用它来更新。
再提一嘴，这里用 \(v\) 更新时用 \(\text{dfn}_v,\text{low}_v\) 更新均可，显然 \(\text{dfn}_v,\text{low}_v\) 均为自己能到达的点。且实际上只用判断自己是不是强连通分量的最高点。
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++idx; int v;
stk[++tp]=u; inS[u]=1;
for(int i=0;i<n;++i) {
if(~adj[u]>>(v=i)&1)
continue;
if(!dfn[v]) {
tarjan(v,u);
low[u] = min(low[u],low[v]);
}
else if(inS[v])
low[u] = min(low[u],dfn[v]);
// Notice that low[v] is also acceptable.
}
if(low[u]==dfn[u]) {
do {
inS[v=stk[tp--]]=0;
bl[v]=scc;
} while(u^v);
++scc;
}
}
