一些感想
感觉最近很不在状态，整场比赛不知道在干什么... 连 \(\rm C\) 这么水的暴力也没看出来...
真的应该改改自己想完就开码的坏习惯，不能因为是虚拟赛就这么随意。
\(\text{C - Manhattan Subarrays}\)
解法
考虑 \(d(p,r)=|x_p-x_r|+|y_p-y_r|\)，\(d(p,q)+d(q,r)=(|x_p-x_q|+|x_q-x_r|)+(|y_p-y_q|+|y_q-y_r|)\)。
显然我们有 \(|x_p-x_r|\ge |x_p-x_q|+|x_q-x_r|\)，\(y\) 同理。
所以当 \(d(p,r)=d(p,q)+d(q,r)\) 时必然有 \(|x_p-x_r|= |x_p-x_q|+|x_q-x_r|\)，\(y\) 同理。而不会有一个大于一个小于的情况。
转化一下式子，发现实际上 "\(\text{bad triple}\)" 就是下标 \(i<j<k\)，有 \(a_i\le a_j\le a_k\) 或 \(a_i\ge a_j\ge a_k\)。
"\(\text{good array}\)" 长度不超过 \(4\)，汝可模拟得之。
简单证明一下。首先，可能的长度为 \(3\) 的 "\(\text{good array}\)" 只有两种情况（情况不同主要的是相对位置不同，对称的是等价的）：
-
--- --- --- -
--- --- ---
对于 情况 1 没有长度为 \(4\) 的 "\(\text{good array}\)"；而 情况 2 可以在 \(i,k\) 或 \(i,j\) 中再插入一段，但这样必定又构造出 情况 1，所以结论得证。
代码
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
template <class T> inline T read(const T sample) {
T x=0; int f=1; char s;
while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
}
const int maxn=2e5+5;
int n,a[maxn];
bool ok(int l,int r) {
if(r-l+1<=2) return 1;
if(r-l+1==3)
return !((a[l]<=a[l+1] and a[l+1]<=a[r])or
(a[l]>=a[l+1] and a[l+1]>=a[r]));
for(int i=l;i<=l+1;++i)
for(int j=i+1;j<r;++j)
for(int k=j+1;k<=r;++k)
if((a[i]<=a[j] and a[j]<=a[k])or
(a[i]>=a[j] and a[j]>=a[k]))
return 0;
return 1;
}
int main() {
int ans,T=read(9);
for(int o=1;o<=T;++o) {
n=read(9); ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
a[i]=read(9);
for(int i=1;i<=n;++i) {
for(int j=i;j<=min(i+3,n);++j)
if(ok(i,j)) ++ans;
else break;
}
print(ans,'\n');
}
return 0;
}
\(\text{E - Stringforces}\)
解法
\(k\le 17\)，我们考虑状压。一个基本的转化是二分最大值 \(x\)，那么就只用检查每种字母是否均有长度为 \(x\) 的段。
令 \(dp_s\) 为满足的字母集合为 \(s\) 需要的最短前缀。考虑转移，需要计算在位置 \(i\) 之后构造出字母 \(j\) 的长度为 \(x\) 的 最靠前 段的右端点。
直接在 \(dp_s\) 转移时计算此信息会导致复杂度飙升，其实可以直接预处理，令它为 \(pos_{i,j}\)。
对于 \(pos_{i,j}\) 的转移，显然如果 \([i+1,i+x]\) 中没有其他字母就可以更新为 \(i+x\)，否则直接继承 \(pos_{i+1,j}\)。
关于判定 \([i+1,i+x]\) 中是否有其他字母，可以将字母正反都枚举一遍，具体可以看看代码；还可以直接对每个字母做一个出现次数的后缀和，再统计所有字母出现次数后缀和。反正都是 \(\mathcal O(nk)\) 的。
代码
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
template <class T> inline T read(const T sample) {
T x=0; int f=1; char s;
while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
}
const int maxn=2e5+5;
int n,k,pos[maxn][18];
int dp[1<<17],las[18];
char s[maxn];
bool ok(int mid) {
for(int i=0;i<k;++i)
las[i]=n+1,
pos[n][i]=n+1;
for(int i=n-1;i>=0;--i) {
if(s[i]^'?')
las[s[i]-'a']=i+1;
int cur=n+1;
for(int j=0;j<k;++j) {
pos[i][j]=(i+mid<cur?i+mid:pos[i+1][j]);
cur=min(cur,las[j]);
}
cur=n+1;
for(int j=k-1;j>=0;--j) {
if(i+mid>=cur)
pos[i][j]=pos[i+1][j];
cur=min(cur,las[j]);
}
}
for(int s=0;s<(1<<k);++s) dp[s]=n+1;
dp[0]=0;
for(int s=0;s<(1<<k);++s)
if(dp[s]<n)
for(int i=0;i<k;++i)
if(!(s>>i&1))
dp[s|(1<<i)]=min(dp[s|(1<<i)],pos[dp[s]][i]);
return dp[(1<<k)-1]<=n;
}
int main() {
n=read(9),k=read(9);
scanf("%s",s);
int l=0,r=n,mid;
while(l^r) {
mid=l+r+1>>1;
if(ok(mid))
l=mid;
else r=mid-1;
}
print(l,'\n');
return 0;
}
