AtCoder Regular Contest 121

E - Directed Tree

解法

实际上我们需要满足对于 \(a_i=j\) 有 \(j\) 不是 \(i\) 的祖先。我们将 “全部” 变成 “有一个”，即算出不满足条件的种类数（容易发现不满足条件的可以一对一对数），问题可以得到简化。

定义 \(dp_{i,j}\) 为 \(i\) 的子树有 \(j\) 对不合法的点的方案数（注意 \(dp_{1,0}\) 并不是最终答案，因为我们并未考虑合法的点如何组合）。枚举 \(i\) 的子树，这就是个很裸的 \(\mathcal O(n^2)\) 背包。

需要注意的是在遍历结束时将 \(i\) 与子树中的点进行不合法的配对。

答案容斥一下就是：

\[\text{Ans}=\sum_{i=0}^n (-1)^i\times dp_{1,i}\times (n-i)! \]

其中 \((n-i)!\) 是计算合法的配对，但由于这样会产生不合法的配对，实际上这是 “至少有 \(i\) 对不合法点的方案数”。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define rep(i,_l,_r) for(signed i=(_l),_end=(_r);i<=_end;++i)
#define fep(i,_l,_r) for(signed i=(_l),_end=(_r);i>=_end;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define efep(i,u) for(signed i=Head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define print(x,y) write(x),putchar(y)
#define debug(...) do {cerr<<__LINE__<<" : ("#__VA_ARGS__<<") = "; Out(__VA_ARGS__); cerr<<flush;} while(0)
template <typename T> void Out(T x) {cerr<<x<<"\n";}
template <typename T,typename ...I> void Out(T x,I ...NEXT) {cerr<<x<<", "; Out(NEXT...);}

template <class T> inline T read(const T sample) {
    T x=0; int f=1; char s;
    while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
    while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
    if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
template <class T> inline T Max(const T x,const T y) {if(x>y) return x; return y;}
template <class T> inline T Min(const T x,const T y) {if(x<y) return x; return y;}
template <class T> inline T fab(const T x) {return x>0?x:-x;}
template <class T> inline T gcd(const T x,const T y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
template <class T> inline T lcm(const T x,const T y) {return x/gcd(x,y)*y;}

const int maxn=2005,mod=998244353;

int n,siz[maxn],dp[maxn][maxn],fac[maxn],tmp[maxn];
vector <int> e[maxn];

void dfs(int u) {
	dp[u][0]=1;
	for(int i=0;i<e[u].size();++i) {
		int v=e[u][i]; dfs(v);
		fep(j,siz[u],0) fep(k,siz[v],0)
			tmp[j+k]=(tmp[j+k]+1ll*dp[u][j]*dp[v][k]%mod)%mod;
		siz[u]+=siz[v];
		rep(j,0,siz[u]) dp[u][j]=tmp[j],tmp[j]=0;
	}
	fep(i,siz[u],0) dp[u][i+1]=(dp[u][i+1]+1ll*dp[u][i]*(siz[u]-i)%mod)%mod;
	++siz[u];
}

void init() {
	fac[0]=1;
	rep(i,1,n) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
} 

int main() {
	n=read(9); int ans=0;
	rep(i,2,n) e[read(9)].push_back(i);
	dfs(1); init();
	rep(i,0,n)
		if(!(i&1)) ans=(ans+1ll*dp[1][i]*fac[n-i]%mod)%mod;
		else ans=(ans-1ll*dp[1][i]*fac[n-i]%mod+mod)%mod;
	print(ans,'\n');
	return 0;
}