常用名词
\(\text{kernel(null-space)}\)
对于一个 \(m\times n\) 的矩阵 \(A\)，\(Ax=0\) 的解（\(x\) 为向量）被称为 \(A\) 的 \(\rm kernel\)（记为 \(\text{ker}(A)\)），或是 \(A\) 的 \(\text{null-space}\)（记为 \(\text{Null}(A)\)）。
\(\text{linear independent}\)
对于 \(k\) 个向量 \(v_1,v_2,v_3,\dots,v_k\)，若 \(\displaystyle \sum_{i=1}^k a_iv_i=0\)
没有非零解，则这 \(k\) 个向量称为线性无关，否则称为线性相关。
\(\text{basis}\)
如果对于 \(V\) 中的任意向量，都可以用 \(\displaystyle \sum_{i=1}^k a_iv_i\) 唯一 表示，则称 \(v_1,v_2,v_3,\dots,v_k\) 为 \(V\) 的基。
唯一 体现了基是线性无关的。
\(\text{dimension of a subspace}\)
对于空间 \(V\)，定义维度为基中向量的个数，写作 \(\text{dim}(V)\).
\(\rm rank\)
最简行阶梯矩阵中非零行的个数。也就是对于一个 \(m\times n\) 的矩阵 \(A\)，它的 \(m\) 个行向量线性无关的个数。
\(\rm subspace\)
选取 \(V\) 的 \(\rm basis\) 中的非空子集构成的空间。
性质
#1. \(\text{rank}(A)+\text{dim}(\text{ker}(A))=n\)
对于一个 \(m\times n\) 的矩阵 \(A\)，假设 \(\text{ker}(A)\) 的某解为 \(x\)，那么事实上由 \(Ax=0\)，\(x\) 与 \(A\) 中的每个行向量都是正交的。这也就意味着 \(x\) 与 \(A\) 中的每个行向量线性无关。
不太严谨地说，\(A\) 中行向量是 \(V\) 的 \(\rm basis\) 中的某个非空子集，令其为 \(P\)。由上，我们可以得出 \(\text{ker}(A)\) 是 \(P\) 关于 \(\rm basis\) 的补集。
\(V\) 是 \(n\) 维空间，那么就有 \(siz(P)+siz(\text{ker}(A))=n\)，这实际上就是 \(\text{rank}(A)+\text{dim}(\text{ker}(A))=n\)。
#2. 用高斯-约旦消元法求解矩阵的逆
#3. \(\text{rank(}AB)\le\min\{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}\)
#4. 若 \(A\) 可逆，\(A\) 可以被表示成初等矩阵乘积
戳这。
#5. 若 \(A\) 可逆，\(\text{rank}(AB)=\text{rank}(BA)=\text{rank}(B)\)
\(A\) 可以被表示成初等矩阵乘积，相当于 \(B\) 进行一系列初等变换，秩不变。
