1. 定义
两个数论函数 \(f,g\) 的狄利克雷卷积就是：
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)
\]
2. 性质
2.1. 交换律
\[(f*g)(n)=(g*f)(n)
\]
2.2. 结合律
\[((f*g)*h)(n)=(f*(g*h))(n)
\]
证明：
发现其实枚举的因子都是一样的，所以可以拓展到一个多函数的柿子：
\[(f_1*f_2*...*f_n)(m)=\sum_{d_1d_2...d_n=m} f_1(d_1)f_2(d_2)...f_n(d_n)
\]
2.3. 分配律
\[((f+g)*h)(n)=(f*h+g*h)(n)
\]
证明：
\[((f+g)*h)(n)=\sum_{d_1d_2=n}f(d_1)h(d_2)+g(d_1)h(d_2)
\]
2.4. 逆元
对于每个 \(f(1)\neq 0\) 的函数 \(f\)，都有 \(f*g=\epsilon\).
证明：
定义
\[g(n)=\frac{1}{f(1)} \left([n==1]-\sum_{d|n,d\neq1}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)\right)
\]
则有：
\[f*g=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)
\]
\[=f(1)g(n)+\sum_{d|n,d\neq1}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)
\]
\[=[n==1]=\epsilon
\]
注：就是从 \(f*g=\epsilon\) 来推。
3. 常用卷积
-
\(f*\epsilon=f\)。显然只有 \(d=n\) 时才能贡献值，此时有 \(f(n)\times 1\).
-
\(\mu*1=\epsilon\)。
证明：
\[(\mu*1)(n)=\sum_{d|n}\mu(d) \]-
\(n=1\)。显然 \(\mu(1)=\epsilon(1)=1\).
-
\(n\neq1\)。找到 \(n\) 的 \(k\) 个质因子 \(p_1,p_2,...,p_k\)，考虑除了 \(1\)，只有质因子次数为 \(1\) 的 \(d\) 对答案有贡献。枚举质因子个数 \(r\)，显然符合条件的因子只有 \(\binom{k}{r}\) 个，\(+1,-1\) 就是对应的 \(\mu\).
\[\sum_{d|n}\mu(d)=1-C_k^1+C_k^2...+(-1)^kC_k^k \]\[=\sum_{r=0}^k (-1)^rC_k^r \]由二项式定理得答案为 \(0\).
-
-
\(1*1=\text d\)。显然前式为 \(\sum_{d|n}1\)。
我感觉这个看上去非常离谱。 -
\(\text{id}*1=\sigma\)。
证明：
\[(\text{id}*1)(n)=\sum_{d|n}d=\sigma(n) \] -
\(\varphi*1=\text{id}\)。
证明：
共乘 \(\mu\)，则等价于：
\[\varphi=\text{id}*\mu \]而
\[\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1] \]\[=\sum_{i=1}^n\sum_{d|(i,n)}\mu(d) \]\[=\sum_{d|n}\mu(d)\times \frac{n}{d} \]这里其实就是枚举 \(d\)，首先需要保证 \(d\mid n\)，然后枚举 \(d\) 的倍数即可。
\[=\text{id}*\mu \]
好，我们整理一下：
\[\mu \stackrel{*1}{\rightarrow}\epsilon \stackrel{*1}{\rightarrow}1 \stackrel{*1}{\rightarrow}\sigma_0
\]
\[\varphi \stackrel{*1}{\rightarrow}\text{id} \stackrel{*1}{\rightarrow}\sigma
\]
反过来也可以，我们乘上 \(\mu\)（即 \(1\) 的逆元）就行了。
