题目
有 \(n\) 堆石子，已知每堆石子的数量都介于 \([1,2^m-1]\) 之间且互不相同。每堆石子中的数量可以任选（但必须满足上述要求），求有多少种方案可以使得 \(\text{Nim}\) 游戏下先手取胜。
答案模 \(10^9+7\)。
\(n\le10^7\)。
解法
算后手必胜的情况。
如果不要求互不相同也不要求非 \(0\)，那么答案显然就是前面的任选，最后一个是前面的异或和。
如果要求非 \(0\)，设 \(f(i)\) 表示 \(i\) 堆石子的答案，那么显然有 \(f(i)=(2^m-1)^{i-1}-f(i-1)\)，即前面 \(i-1\) 位任选减掉最后一位恰好是 \(0\) 的答案（前 \(i-1\) 位异或和为 \(0\)，要使前 \(i\) 位异或和为 \(0\)，第 \(i\) 位只能是 \(0\)）。
如果再加上互不相同的限制，仍然前面 \(i-1\) 位任选，减掉第 \(i\) 位为 \(0\) 的情况以及第 \(i\) 位和之前某位相等的情况即可（由于前面互不相同，因此只有一个位置与其相等）。
\[f(i)=(2^m-1)(2^m-2)…(2^m-i+1)-f(i-1)-(2^m-i+1)(i-1)f(i-2)
\]
最后 \((2^m-1)(2^m-2)…(2^m-n)-f(n)\) 即为答案。
复杂度 \(\mathcal O(n)\)。
