2020 牛客 NOIP 赛前集训营-S（第六场）- A 袜子分配

\(\text{Description}\)

传送门

\(\text{Solution}\)

排列组合真的好差。。。当时还乱容斥了一波没搞出来。

先算出总方案就是 \(\frac{\text A_{2n}^{2n}}{2^{n}}\)。我们可以考虑操作是固定位置往里面填数，显然可以把 \(2n\) 划分成 \(n\) 个长度为 \(2\) 的位置，每个位置内部都要除以 \(2\)。

可以分开考虑每一组。

发现每一对袜子其实只用在包含它的取袜子序列的答案加 \(1\) 就行了。枚举这对袜子存在的位置有 \(n\) 种，剩下的位置可以随便放（同总方案计算方法）即 \(\frac{\text A_{2n-2}^{2n-2}}{2^{n-1}}\)。然后一共有 \(n\) 对袜子，再乘上 \(n\)，最后除以总方案数就是 \(n/(2n-1)\)。

\(\text{Code}\)

#include <cstdio>

#define rep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i<=_end;++i)
#define fep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i>=_end;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define efep(i,u) for(signed i=Head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define print(x,y) write(x),putchar(y)

template <class T> inline T read(const T sample) {
	T x=0; int f=1; char s;
	while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
	while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
	return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
	if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
}
template <class T> inline T Max(const T x,const T y) {if(x>y) return x; return y;}
template <class T> inline T Min(const T x,const T y) {if(x<y) return x; return y;}
template <class T> inline T fab(const T x) {return x>0?x:-x;}
template <class T> inline T Gcd(const T x,const T y) {return y?Gcd(y,x%y):x;}
template <class T> inline T Swap(T &x,T &y) {x^=y^=x^=y;}

int main() {
	int n=read(9);
	printf("%.10f\n",1.0*n/(2.0*n-1));
	return 0;
}