POJ - 3696 The Luckiest number

\(\text{Solution}\)

首先可以把题意转化为求最小的 \(x\) 使得 \(L|8\times \frac{10^x-1}{9}\)。

然后有 \(9\times L|8\times (10^x-1)\)。

我们尝试去掉那个 \(8\)，因为 \(\gcd(9,8)=\gcd(8,10^x-1)=1\)，所以 \(8\) 贡献的因子一定只在 \(L\) 出现，\(L\) 中关于 \(8\) 的因子也只在 \(8\) 出现。就可以转化为 \(\frac{9\times L}{\gcd(8,L)}|10^x-1\)。

显然就有 \(10^x\equiv 1\ (\operatorname{mod}\ \frac{9\times L}{\gcd(8,L)})\)，我们令模数为 \(p\)。

首先，如果 \(\gcd(p,10)\neq 1\) 就一定无解，否则一定有解。令 \(\gcd(p,10)=g\ (g\neq 1)\)，则 \(p=a\times g,10=b\times g\)。显然 \(10^x\) 一定会是 \(g\) 的倍数，用 \(10^x\) 减去若干个 \(p\)（模拟取模）一定是 \(g\) 的倍数，不会是 \(1\)。否则起码有欧拉定理撑着。

这里有个结论：

当 \(\gcd(a,p)=1\)，使得 \(a^x\equiv 1\ (\text{mod }p)\) 成立的最小 \(x\) 是 \(\phi(p)\) 的因数。

反证法。

设最小 \(x\) 满足 \(\phi(p)=k\times x+m\ (0<m<x)\)。（默认在取模 \(p\) 的情况下）

那么有 \(a^{\phi(p)}\equiv a^{k\times x+m}\equiv 1\)。

又因为 \(a^x\equiv 1\)，显然 \(a^{k\times x}\equiv 1\)。那么就有 \(a^m\equiv 1\)。

但是 \(m<x\)，所以 \(x\) 并不是最小的。所以结论得证。

注：模数较大，要多开 long long，还要加上快速乘。

\(\text{Code}\)

#include <cstdio>

#define rep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i<=_end;++i)
#define fep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i>=_end;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define efep(i,u) for(signed i=Head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define print(x,y) write(x),putchar(y)

template <class T> inline T read(const T sample) {
	T x=0; int f=1; char s;
	while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
	while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
	return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
	if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
}
template <class T> inline T Max(const T x,const T y) {if(x>y) return x; return y;}
template <class T> inline T Min(const T x,const T y) {if(x<y) return x; return y;}
template <class T> inline T fab(const T x) {return x>0?x:-x;}
template <class T> inline T Gcd(const T x,const T y) {return y?Gcd(y,x%y):x;}
template <class T> inline T Swap(T &x,T &y) {x^=y^=x^=y;}

typedef long long ll;

const ll inf=(1ll<<60);

ll p;

ll phi(ll x) {
	ll r=x;
    for(int i=2;i*i<=x;++i) {
    	if(x%i) continue;
        r=r/i*(i-1);
        while(x%i==0) x/=i;
    }
    if(x>1) r=r/x*(x-1);
    return r;
}

ll gcd(ll x,ll y) {
	if(!y) return x;
	return gcd(y,x%y);
}

ll qkmul(ll x,ll y) {
	ll r=0;
	while(y) {
		if(y&1) r=(r+x)%p;
		x=(x+x)%p; y>>=1;
	}
	return r;
}

ll qkpow(ll x,ll y) {
	ll r=1;
	while(y) {
		if(y&1) r=qkmul(r,x);
		x=qkmul(x,x); y>>=1;
	}
	return r;
}

int main() {
	int T=0,n; ll Phi,ans;
	while(233) {
		n=read(9);
		if(!n) break;
		p=1ll*n/gcd(n,8)*9;
		if(gcd(10,p)>1) {printf("Case %d: 0\n",++T); continue;}
		Phi=phi(p); ans=inf;
		for(ll i=1;i*i<=Phi;++i) {
			if(Phi%i) continue;
			if(qkpow(10,i)==1&&i<ans) ans=i;
			if(qkpow(10,Phi/i)==1&&Phi/i<ans) ans=Phi/i;
		}
		printf("Case %d: %lld\n",++T,ans);
	}
	return 0;
}