P1966 火柴排队

\(\text{Solution}\)

首先有一个结论：\(a\) 序列的第 \(k\) 大和 \(b\) 序列的第 \(k\) 大在相同的位置上两列火柴的距离最小。

证明要用排序不等式，这里不赘述。

关键是接下来如何处理。对于 \(a,b\) 数组分别处理出 \(pos\) 数组表示第 \(i\) 小的数在原数组的下标为 \(pos[i]\)。这时我们想要 \(posa[i]\) 与 \(posb[i]\) 相等。我们再搞个数组令 \(c[posa[i]]=posb[i]\)，如果使这个数组单调递增就满足了要求。

方便理解我们定义 \(A=\{4,1,2,3\},B=\{3,2,4,1\}\)。则 \(posa=\{2,3,4,1\},posb=\{4,2,1,3\}\)。那么 \(C=\{3,4,2,1\}\)，我们尝试理解 \(C\) 的第二项：\(A\) 数组的第一小在 \(2\) 位置，\(B\) 数组的第一小在 \(4\) 位置，那么 \(C[2]=4\) 就是需要把 \(B\) 数组 \(4\) 位置上的数换到 \(B\) 数组的 \(2\) 位置上以与 \(A\) 数组对应，而我们 \(B\) 数组原来编号相当于 \(1,2,3,4\)。所以上文的使这个数组单调递增实际是反向操作。

还有一个坑了我挺久的点。先开始我没有用 \(pos\) 数组，直接令 \(c[a[i]]=b[i]\)，得到了 \(10pts\) 的好成绩。。。实际上我们排的是权值并不是数组下标。

\(\text{Code}\)

#include <cstdio>

#define rep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i<=_end;++i)
#define fep(i,_l,_r) for(register signed i=(_l),_end=(_r);i>=_end;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define efep(i,u) for(signed i=Head[u],v=to[i];i;i=nxt[i],v=to[i])
#define print(x,y) write(x),putchar(y)

template <class T> inline T read(const T sample) {
	T x=0; int f=1; char s;
	while((s=getchar())>'9'||s<'0') if(s=='-') f=-1;
	while(s>='0'&&s<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
	return x*f;
}
template <class T> inline void write(const T x) {
	if(x<0) return (void) (putchar('-'),write(-x));
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
}
template <class T> inline T Max(const T x,const T y) {if(x>y) return x; return y;}
template <class T> inline T Min(const T x,const T y) {if(x<y) return x; return y;}
template <class T> inline T fab(const T x) {return x>0?x:-x;}
template <class T> inline T Gcd(const T x,const T y) {return y?Gcd(y,x%y):x;}
template <class T> inline T Swap(T &x,T &y) {x^=y^=x^=y;}

#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5,mod=1e8-3;

int n,a[maxn],b[maxn],c[maxn],t[maxn],d[maxn],e[maxn];

int lowbit(int x) {return x&-x;}

void add(int x,int k) {
	while(x<=n) t[x]+=k,x+=lowbit(x);
} 

int ask(int x) {
	int r=0;
	while(x) (r+=t[x])%=mod,x-=lowbit(x);
	return r;
}

bool cmp(int x,int y) {return a[x]<a[y];}

bool Cmp(int x,int y) {return b[x]<b[y];}

int main() {
	int len,ans=0;
	n=read(9);
	rep(i,1,n) d[i]=i,a[i]=read(9);
	sort(d+1,d+n+1,cmp);
	rep(i,1,n) e[i]=i,b[i]=read(9);
	sort(e+1,e+n+1,Cmp);
	rep(i,1,n) c[d[i]]=e[i];
	fep(i,n,1) (ans+=ask(c[i]-1))%=mod,add(c[i],1);
	print(ans,'\n');
	return 0;
}