C. Zero Path
只用 出 分别表示从 到 能得到的最大权值,判断 是否在 之间即可。
考虑合法的图一定满足 ,所以到 的路径和一定满足是偶数。考虑 路径上一个 的一个折角,可以转化成 的折角(其它情况类似),权值变化只能为 ,所以当 在 之间时,一定能在调整过程中经过 .
D. Tree Queries
首先一个 observation 是当一个点连接 个连通块时,必须选 个连通块中放置关键点。我们考虑如何将这个观察应用到树上,可以先选一个度数至少为 的点(显然如果不存在这样的点答案即为 )为根,这样每个点的父亲方向连通块一定包含一个关键点,所以就只需要考虑子树的情况了。复杂度 .
E. Ambiguous Dominoes
一些闲话:能把骨牌的构造转到树上 序的人都是神仙吧!我拿到这种题真的一点思路都没有啊!悲剧啊 😭!但说实话,我更倾向于出题人是逆向出的这道题。
首先考虑将骨牌转化成图论问题 —— 将骨牌上的数字转成点,将连接两点的骨牌转成边。接着从连通块的点 开始进行这样的遍历:
void dfs(int i) {
lst.push_back(i);
if(!used[i]) {
used[i] = true;
for(pair <int,int> p: graph[i])
if(!usedEdges[p.second]) {
usedEdges[p.second] = true;
dfs(p.first);
lst.push_back(i);
}
}
}
不妨设此连通块中 边的条数 为 ,可以发现,最后 中存储的序列长度为 ,这由每条边都会被塞进去的两个端点,再加上最开始遍历 进行的加入组成。
另外,对于 ,都有 对应一条边。显然,对于每条边 ,都有 和 出现在序列中。
可以证明,对于每条边 ,其 和 出现在序列中的位置(不妨定义 "位置" 为第一个点的位置)的奇偶性是不同的。先考虑 "无用边" 也就是另一个端点已经被遍历过的边,其 和 出现在序列中的位置是连续的,奇偶性肯定不同。接着我们可以删掉那些边,每删掉一条边相当于在序列中删掉两个连续的点,这样是不影响其它边出现位置的奇偶性的。至此,剩下的边就是对连通块的一个 序遍历,那么一条边的遍历与回溯之间边的遍历与回溯次数一定为偶数,所以它们奇偶性不同。
这个结论可以帮助我们构造 的多米诺骨牌矩阵。由于序列的第一条边和最后一条边一定是关于 的边,所以骨牌矩阵可以看作一个环(就是下图用橙色标记的部分):

于是可以先选奇数位的边,再选偶数位的边。由于同一条边的遍历与回溯奇偶性不同,所以每条边会且只会被选择一次。
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