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这应该是本蒟蒻的第一篇学习笔记吧。
定义与结论
FMT
定义
\[f(S)=\sum_{S'\in S}g(S')
\]
FMI
则有
\[g(S)=\sum_{S'\in S}(-1)^{|S|-|S'|}*f(S')
\]
证明
不妨设集合 \(x,y,z\)，\(x,y,z\) 集合各自大小为 \(a,b,c\)（这里的集合大小是二进制下一的个数）。
我们知道，若将后面的结论带入前面的式子之后等式成立，那么这个结论是正确的。
则
\[\sum_{y\in x} g(y)=\sum_{y\in x} \sum_{z\in y} (-1)^{b-c}*f(z)
\]
仔细观察这个式子，我们发现 \(x\) 是固定的，我们转而考虑每一个 \(z\) 的情况（因为后面式子只和 \(y\) 的大小有关）。
对于每个 \(z\)，应该有 \(C(a-c,b-c)\) 种方案（\(b\) 就是枚举 \(y\) 的大小，\(C(a-c,b-c)\) 就是 \(b\) 大小的 \(y\) 的可能情况）。
令（这个设置其实是为了防止后文误解）
\[t=\sum_{y\in x} g(y)
\]
那么就有：
\[t=\sum_{z\in x} f(z)*\sum_{b=c}^{a}C(a-c,b-c)*(-1)^{b-c}
\]
式子可以改写为：
\[t=\sum_{z\in x} f(z)*\sum_{b=c}^{a}C(a-c,b-c)*(-1)^{b-c}*1^{a-b}
\]
由二项式定理得：
\[t=\sum_{z\in x} f(z)*0^{a-c}
\]
显然只有当 \(a=c\) 时才会取到 \(f(z)\) 的值，又因为 \(z\in x\)，所以此时 \(x=z\)，那么得出 \(t=f(x)\)。
所以结论成立。
另外记录一个有趣的小证明（这个证不了全部）。其实结论就是当 \(a-c\) 为奇数时，后面那一坨 \(f(z)\) 的系数为 \(0\)。
首先有 \(C(a-c,b-c)=C(a-c,a-c-(b-c))=C(a-c,a-b)\)。
你可以把 \(b\) 看作在区间 \([c,a]\) 中游走的点，当 \(d(a,b)=d(b,c)\) 时，\(C\) 值相等（这不是废话）。然而此时 \(-1\) 的指数的奇偶性明显不同。（实在不行可以看图）
c b b' a
1 2 3 4 5 6
代码实现
相信自己，我先咕为敬
