[学习笔记] Pólya 定理

0. 群论初步

0.1. 群的定义

$\rm Link.$

注意，由于不要求运算 $\rm op$ 满足交换律，所以逆元需要满足 $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=\epsilon$.

0.2. 子群

$(H,\cdot)$ 是 $(G,\cdot)$ 的一个子群需要满足以下条件：

$H$ 是 $G$ 的子集；
$(H,\cdot)$ 内部运算封闭并且求逆也封闭。

命题：如果 $H$ 是 $G$ 的非空子集，那么 $(H,\cdot)$ 是 $(G,\cdot)$ 的子群当且仅当对任意的 $a,b∈H$，有 $a\cdot b^{-1}∈H$.

Proof.

不妨令 $b=a$，此时有 $a\cdot a^{-1}\in H$ 即 $\epsilon \in H$. 再令 $a=\epsilon$，就可以得出逆元都 $\in H$，最后有 $a\cdot (b^{-1})^{-1}\in H$ 即 $a\cdot b\in H$，结论得证。

推论：如果 $H$ 是 $G$ 的非空有穷子集，那么 $(H,\cdot)$ 是 $(G,\cdot)$ 的子群当且仅当对任意的 $a,b∈H$，有 $a\cdot b∈H$.

Proof.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/34104381

0.3. 阶

$\rm Link.$

0.4. 陪集

设 $(H,\cdot)$ 是 $(G,\cdot)$ 的一个子群。对于 $a∈G$，定义 $Ha=\{ha\mid h∈H\}$，称 $Ha$ 是子群 $(H,\cdot)$ 在 $(G,\cdot)$ 的一个右陪集。显然，$a∈Ha$.

在有限集的情况下，$H$ 与 $Ha$ 的阶相同。

命题：

\[a,b∈G,a∈Hb\Leftrightarrow Ha=Hb\Leftrightarrow ab^{-1}∈H \]

首先证明 $∀a,b∈G,a∈Hb\Leftrightarrow ab^{-1}∈H$：对于 "$\Rightarrow$"，可以由 $a=h' b$，同乘 $b^{-1}$ 得 $ab^{-1}=h'\in H$；对于 "$\Leftarrow$"，就留给读者自行思考。

然后证明 $Ha=Hb\Leftrightarrow ab^{-1}∈H$：对于 "$\Rightarrow$"，实际上可以翻译成，对于任意 $h_1\in H$，存在 $h_2\in H$ 使得 $h_1a=h_2b$，还是同右乘 $b^{-1}$ 得 $h_1ab^{-1}=h_2$，左乘 $h_1$ 可得 $ab^{-1}=h_1^{-1}h_2\in H$；对于 "$\Leftarrow$"，也留给读者自行思考。

0.5. 正规化子

定义 $N(a)=\{x\mid x∈G \text{ and } xa=ax\}$，称 $N(a)$ 是 $G$ 的正规化子。

1. $\rm lagrange$ 定理

1.1. 内容

设 $(G,\cdot)$ 是有限群，$(H,\cdot)$ 是 $(G,\cdot)$ 的一个子群，则 $(G,\cdot)$ 的阶一定是 $(H,\cdot)$ 的阶的倍数，不妨设其为 $d$，它等于划分出等价类的个数。

1.2. 证明

根据 0.4. 陪集，我们发现满足 $ab^{-1}\in H$ 的 $a,b$ 形成一种等价关系^[1]。所以根据 $H$，我们可以将 $G$ 中的元素全部划分成若干个等价类（保底都存在 $aa^{-1}\in H$）。

对于每个等价类我们随便选择一个元素 $a$，容易得到等价类大小为 $|Ha|=|H|$.

所以定理得证。

1.3. 应用

1.3.1. 元素阶与群的阶的关系

命题：有限群中任意一个元素 $x$ 的阶 $d$，一定整除群的阶。

令 $H=\{x^0,x^1,...,x^{d-1}\}$，显然 $(H,\cdot)$ 是 $(G,\cdot)$ 的一个子群，直接应用 $\rm lagrange$ 定理即可。

1.3.2. 共轭类大小与群的阶的关系

命题：对于有限群 $(G,\cdot )$，元素 $a$ 所在的共轭类的大小等于群的阶除以 $N(a)$ 的阶。

定义 $b$ 是 $a$ 的共轭当且仅当存在 $x∈G$ 使得 $b=xax^{-1}$. 可以证明共轭关系也是等价关系，可以进行共轭类分解（等价关系的定义与上文是类似的）。

任取 $x,y∈G$，有（注意不同位置左右陪集的区别）：

\[xax^{-1}=yay^{-1}\Leftrightarrow ax^{-1}y=x^{-1}ya\Leftrightarrow x^{-1}y∈N(a)\Leftrightarrow xN(a)=yN(a) \]

这说明 $x$ 和 $y$ 在同一个等价类中当且仅当 $x$ 和 $y$ 确定 $a$ 的同一个共轭，也就是说 $a$ 所在的共轭类大小即为等价类的数量。应用 $\rm lagrange$ 定理即可证明。

1.3.3. 轨道-稳定子群定理

定理：

设 $(G,\cdot )$ 是 $A$ 上的有穷置换群，$a∈A$.

定义 $G^a=\{g\mid g∈G\text{ and }g(a)=a\}$ 为元素 $a$ 的稳定子群（置换），$G(a)=\{g(a)\mid g∈G\}$ 为 $a$ 的轨道（数值）。那么有：

\[|G|=|G^a|\cdot |G(a)| \]

任取 $x,y∈G$：

\[x(a)=y(a)\Leftrightarrow a=x^{-1}(y(a))\Leftrightarrow x^{-1}y∈G^a\Leftrightarrow xG^a=yG^a \]

这说明 $x$ 和 $y$ 在同一个等价类中当且仅当 $x(a)=y(a)$，也就是说 $|G(a)|$ 是等价类的数量。应用 $\rm lagrange$ 定理即可证明。

2. $\rm Burnside$ 引理

设 $(G,\cdot )$ 是 $A$ 上的有穷置换群，$A$ 可以视作所有 "方案" 组成的集合，$a∈A$. 令 $C_1(g)$ 为通过置换 $g$ 的不动点个数：

\[\begin{align}\sum_{g\in G} C_1(g)&=\sum_{g\in G}\sum_{a\in A}[g(a)=a]\\&=\sum_{a\in A}\sum_{g\in G}[g(a)=a]\\&=\sum_{a\in A}|G^a|=|G|\cdot \sum_{a\in A}\frac{1}{|G(a)|}\end{align} \]

一般而言，$\sum_{a\in A}\frac{1}{|G(a)|}$ 就是我们要的答案，接下来我们探究这个柿子的意义。

令 $A/G$ 表示 $G$ 作用在 $A$ 上的所有等价类^[2]的集合，那么元素 $a$ 所在等价类大小等于 $G(a)$（可以用 "环" 这个意象来理解），所以继续化简这个柿子：

\[\begin{align} \sum_{a\in A}\frac{1}{|G(a)|}&=\sum_{Y\in A/G}\sum_{y\in Y}\frac{1}{|G(y)|}\\ &=\sum_{Y\in A/G}\sum_{y\in Y}\frac{1}{|Y|}=\sum_{Y\in A/G}1=|A/G| \end{align} \]

而 $|A/G|$ 就是我们需要求的 "本质不同的方案个数"。

3. $\rm Polya$ 定理

很多时候，计算 $\sum_{g\in G}C_1(g)$ 的时间花费都不那么友好。不过对于着色问题，$\rm Polya$ 给出了一种快速计算的方法。

还是将 $A$ 视作所有 "方案" 组成的集合，需要注意的是，我们求解的是 "珠子等价" 的 "方案"，但在集合 $A$ 中的 "方案" 中，珠子是不等价的，可以理解成为每颗珠子赋予一个标号，而且也带有颜色。

具体而言，假设给 $n$ 个珠子染 $m$ 种颜色，所谓的置换其实就是将每颗珠子顺时针挪 $k\ (k\in[0,n))$ 位。对于每一种置换 $g$，可以将 $A$ 划分成若干个 "环"，"环" 中的有向边 $\langle u,v \rangle$ 代表 $u$ 号珠子经过置换 $g$ 后到达 $v$ 号珠子。

现在我们需要统计通过置换 $g$ 的不动点个数（集合 $A$ 的一种染色方案），显然在同一个 "环" 内的珠子颜色需要相同。于是假设有 $c(g)$ 个环，可以得到：

\[C_1(g)=m^{c(g)} \]

满足自反性，对称性与传递性。这里略去不证。 ↩︎
若 $A$ 中的两个 "方案" 经过 $G$ 中的置换作用后得到的 "方案" 集合相等，则它们在同一等价类中。 ↩︎

posted on 2020-04-14 10:13 Oxide 阅读(87) 评论(0) 编辑收藏举报

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