[WC 2007] 剪刀石头布
题意简述：给定一张图，每两点之间有一条有向边或无向边，把所有无向边定向，使图中三元环个数尽量多。\(n\le 100\).
一个重要的 \(\rm observation\) 是一个三元环不合法的 充要条件 是有且只有一个点满足三元环内入度为 \(2\)[1]。由于某个点满足三元环内入度 \(<2\) 不一定代表此三元环合法，所以正难则反，考虑用三元环总数减去不合法的三元环个数，不合法的个数可以放到点上统计。答案就是
\(d_i\) 表示原图经定向后 \(i\) 的入度。于是我们的目标变成最小化 \(\sum \binom{d_i}{2}\)，有关度数的分配，可以想到网络流。将 \(\binom{d_i}{2}\) 看成等差数列 \(\{0,1,\dots,d_i-1\}\) 求和（这一步我觉得好神），源点连边分配度数，汇点连边权值依次为 \(0,1,\dots,d_i-1\)，跑最小费用最大流即可。
[UER #9] 知识网络
一些闲话：老实说，这题真的给我调 \(\rm emo\) 了。
先讲几个部分分算法吧：
- 考虑到标签数很小，所以可以给每个标签建一个虚点，然后每个点向虚点建边权为 \(0\) 的边，虚点向每个点建边权为 \(1\) 的边；
- 当图边数很少的时候，没有边的点就直接被所在标签更新了，这样可以缩小点的个数。
一个重要的 \(\rm observation\) 是：考虑点 \(x\) 与标签为 \(y\) 的点集 \(S\) 中每个点的最短路，一定只有 \(d\) 为 \(x\) 到 \(S\) 的最短路，或者 \(d+1\)。所以实际上只需要算出 \(x\) 到点集 \(S\) 的最短路，同时计算 \(S\) 中哪些点到 \(x\) 的最短路为 \(d\)，就可以计算 \(f(x,y),y\in S\).
枚举标签，以对应点集 \(S\) 跑一个 \(0/1\) 边权多源点最短路，就可以处理出所有点到点集 \(S\) 的最短路。有了最短路之后，这就变成了一个可达性问题，可以用 \(\rm bitset\) 维护（注意用拓扑排序求解）。
复杂度是 \(\mathcal O(k\cdot (n+m)+n^2/w)\) 的，需要注意的是，不能直接用 \(\rm bitset\) 硬上，因为 \(\rm bitset\) 长度固定，而 \(n^2/w\) 这个复杂度是和 \(k\) 均摊的，所以每次只能开 \(|S|\) 大小的 \(\rm bitset\).
完了吗？我算是完了！码完之后才发现每次开 \(|S|\) 大小的 \(\rm bitset\) 空间会爆炸！所以实际上还要对 \(\rm bitset\) 长度进行分块！
但是我真的懒得改了，所以糊了个空间复杂度正确的做法：考虑到 \(\rm bitset\) 空间爆炸的原因是对于每种点集的最短路都需要对 \(n+k\) 个点初始化长度为 \(|S|\) 的 \(\rm bitset\)，当很多点属于一个标签时就会爆炸。而 \(S\) 中点的 \(\rm bitset\) 只有一个值，所以干脆不给 \(S\) 中点开 \(\rm bitset\)，那么单次空间大概是 \(\text{S}=|S|\cdot (n-|S|)\)，这是一个二次函数，它的最大值为 \(n^2/4\)，就卡过去了 /kk.
我的代码：\(\text{My Submission.}\)
显然一个三元环内只有一个点能满足三元环内入度为 \(2\) 的条件。 ↩︎
