【9927】庆功会

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【问题描述】

为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买
最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。

【输入格式】

第一行二个数n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。
接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和购买的数量（买0件到s件均可
），其中v<=100，w<=1000，s<=10。

【输出格式】

第一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。

Sample Input

5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1

Sample Output

1040

【题解】

【法1】

这种有限制物品数量的背包问题，和完全背包的二维形式类似。只要在枚举的时候加上一个限制条件即k <= num[i]即可。

f[i][j]表示前i个物品，所用容量不超过j所能获得的最大价值。

f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j-k*w[i]]+ k*c[i];

【代码1】

#include <cstdio>
#include <cstring>

int m,n,f[509][6010],w[509],c[509],num[509]; //f数组实际上可以换成一个二维的滚动数组。。这样很方便的。 

void input_data()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i = 1;i <= n;i++) 
		scanf("%d%d%d",&w[i],&c[i],&num[i]);
}	

void get_ans()
{
	memset(f,0,sizeof(f));			 
	for (int i = 1;i <= n;i++)
		{
			for (int j = m;j >=0;j--) //其实从大到小或者从小到大都没差。因为是二维的。 
				{
					f[i][j] = f[i-1][j];
					int k = 1;
					while (k <= num[i] && k*w[i] <= j) //如果能够更新解。就更新 k要小于等于num[i] 
						{
							if (f[i][j] < f[i-1][j-k*w[i]] + k * c[i])
								f[i][j] = f[i-1][j-k*w[i]] + k * c[i];
							k++;
						}
				}		
		} 
}

void output_ans()
{
	printf("%d",f[n][m]);	
}

int main()
{
	//freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
	input_data();
	get_ans();
	output_ans();
	return 0;	
}

【法二】

一维形式。

设f[j]表示容量不超过j时，所能获得的最大价值。

则f[j] = max{f[j],f[j-k*w[i]] + k * c[i].

其实这种更新方式和二维的无异。只是少了一维。且更新方式固定了。只能让容量那层循环从大到小循环。

如果还是不明白可以把法1的程序和法2的程序在i那层后面输出一下f[m-10..m]，会发现两个程序，i相同时，f[i][j]和f[j]是一样的。

【代码2】

#include <cstdio>
#include <cstring>

int m,n,f[6010],w[509],c[509],num[509]; 

void input_data()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i = 1;i <= n;i++) 
		scanf("%d%d%d",&w[i],&c[i],&num[i]);
}	

void get_ans()
{
	memset(f,0,sizeof(f));			 
	for (int i = 1;i <= n;i++)
		for (int j = m;j >=w[i];j--) //换成了一维的形式。这时就一定要从后往前递减了。 
			for (int k = 1;k <= num[i];k++) //其实更新方式和二维是一样的。先从后面的更新是因为不会影响前面f[1..j-1]
			//而更新完f[j]之后，更新f[1..j-1]又恰好与f[j]无关了。所以f[j]的更新方式是正确的，且不会影响到后续的更新。 
				{
					if (j-k*w[i] < 0)
						break;
					if (f[j] < f[j-k*w[i]] + k*c[i])
						f[j] = f[j-k*w[i]] + k*c[i];	
				}
					
}

void output_ans()
{
	printf("%d",f[m]);	
}

int main()
{
	//freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
	input_data();
	get_ans();
	output_ans();
	return 0;	
}