【U205】最大值

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【问题描述】

找到一个数组的最大值的一种方法是从数组开头从前到后对数组进行扫描,令max=a[0](数组下表从0..N-1),如果a[i]>max,就更新max,这样
就可以在O(N)的时间里找到一个数组的最大值。
这个问题是相当简单的,但是想到了另一个问题,如果一个包含N个元素的数组a里面的元素的值是在1...K之间的整数,存在多少个不同的数组
a,进行了如上扫描之后,max恰好进行了p次更新? 
下面是N = 4,K = 3,P = 2时所有情况
1) {1,1,2,3}
2) {1,2,1,3}
3) {1,2,2,3}
4) {1,2,3,1}
5) {1,2,3,2}
6) {1,2,3,3}
共有6种情况
由于答案可能很大，所以你仅仅需要把答案mod 10^9+7输出。 

【输入格式】

输入文件findmax.in的第一行T,本题有T组数据。 接下来T行,每行三个整数,N,K,P

【输出格式】

输出文件findmax.out包括T行,每行一个答案。

【数据规模】

30%数据 T=1 1 <= n <= 10 1 <= K <= 2 0 <= P < n 60%数据 T=1 1 <= n <= 50 1 <= K <= 10 0 <= P < n 100%数据 1 <= T <= 100 1 <= n <= 100 1 <= K <= 300 0 <= P < n

Sample Input1

3
4 3 2
2 3 1
3 4 1

Sample Output1

6
3
30
【题解】

设f[n][k][p]表示序列长度为n，最大值为k，要更新p次这样的序列个数。
f[n][k][p] = f[n - 1][k][p] * k + ∑(f[n - 1][0..k - 1][p - 1]);
前面一个表示在序列长度为n - 1，最大值为k，更新过p次的序列后面加上1..k这些数字。因为不会再更

新所以转移的方式是对的。
后面一个求和则表示在长度为n - 1, 最大值在0..k - 1之间，然后更新过p - 1次, 在后面加上一个k就

会更新p次了。然后最大值也变成了k.

然后那个求和部分可以不用每次都算一次。可以累加然后加上去。不然会超时。

然后一开始预处理出f[1..100][0..300][1..100]。然后对于每一个输入n,k,p

输出∑(f[n][p+1..k][p])；

【代码】

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

const int mo = 1000000007;

long long f[101][301][101];
int n, k, p;

void input_data()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
}

void get_ans()
{
	memset(f, 0, sizeof(f));
	for (int j = 1; j <= 300; j++)//要处理出只有一个元素的情况。不然从f[0][0][0]递推到f[1][1..k][1]会出错。
		//因为f[1][1..k][1]是不可能出现的。因为只有一个元素。它是没有被更新过的。
		f[1][j][0] = 1;
	for (int i = 2; i <= 100; i++) //大于等于2之后则用递推的方式递推出所有f值
		for (int m = 0; m <= 100; m++)
		{
			int leijia = 0; //累加和。不要每次都算求和的值。
			for (int j = 1; j <= 300; j++)
			{
				f[i][j][m] = (f[i][j][m] + f[i - 1][j][m] * j) % mo; //这是不更新的情况 不用累加。
				leijia = (leijia + f[i - 1][j - 1][m - 1]) % mo; //这是要更新的情况。在末尾加上一个j就可以了。
				if (m != 0) //m-1在m!=0的时候才要访问。
					f[i][j][m] = (f[i][j][m] + leijia) % mo;
			}
		}
}

void output_ans()
{
	int ans = 0;
	for (int i = p + 1; i <= k; i++) //输出∑(f[n][p+1..k][p])
		ans = (ans + f[n][i][p]) % mo;
	printf("%d\n", ans);
}

int main()
{
	get_ans();//先预处理出f[1..100][0..300][1..100]
	int t;
	scanf("%d", &t);//输入t
	for (int kk = 1; kk <= t; kk++) //输入t组数据然后直接输出相应的答案。
	{
		input_data();
		output_ans();
	}
	return 0;
}