【hihocoder 1297】数论四·扩展欧几里德

【题目链接】:http://hihocoder.com/problemset/problem/1297

【题意】

【题解】

问题可以转化为数学问题
即(s1+v1*t)%m == (s2+v2*t)%m···①
也即
(s1+v1*t-(s2+v2*t))%m==0
也即
(s1-s2)+(v1-v2)*t=k*m
也即
(v2-v1)*t+m*k=(s1-s2)
与
A*X+B*y=C对应;
这里如果C是gcd(A,B)的倍数,则有解;
为了方便起见
我们在A<0的时候,把A和C都取相反数(相当于①式在移项的时候把左边的项移到右边来了)
(这样等下求出来的gcd就不会是负数了)
然后求出t=gcd(A,B)
如果有解的话
A/=t,B/=t,C/=t;
这时
新的A和B就互质了,即gcd(A,B)==1;
也求
A’x+B’y=C’···②
的解;
我们可以先求出
A’x+B’y=1···③
的解x0和y0;
然后把x0和y0都乘上C’是②的解了
但是这里必须要求x>0
这里有个知道特解求②的通解的公式;
推导过程如下

    先考虑③的通解
    A'x'+B'y'+(u+(-u))A'B'=1
    => (x' + uB')*A' + (y' - uA')*B' = 1
    然后两边同时乘上C'
    =>(X'*C'+C'*u*B')*A'+(y'*C'-u*C'*A')*B' = C'
    =>  X = X'*C'+C'*u*B', Y =X'*C'+C'*u*B'
    也即x = x0*C'+C'*u*B',y = y0*C'-C'*u*A'

则x的最小正数解为(x0*C’%B+B)%B;
加上B’是为了保证x大于0


【Number Of WA】

0

【完整代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)

typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pll;

const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 110;

LL s1,s2,v1,v2,m;

LL gcd(LL a,LL b)
{
    if (b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (b==0)
    {
        x = 1;y = 0;
        return;
    }
    ex_gcd(b,a%b,x,y);
    LL temp = y;
    y = x-(a/b)*temp;
    x = temp;
}

int main()
{
    //freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);//scanf,puts,printf not use
    cin >> s1 >> s2 >> v1 >> v2 >> m;
    LL A = v1-v2,B = m,C = s2-s1;
    if (A<0) A=-A,C=-C;
    LL t = gcd(A,B);
    if (C%t!=0) return cout << -1 << endl,0;
    A/=t,B/=t,C/=t;
    LL tx,ty;
    ex_gcd(A,B,tx,ty);
    tx = (tx*C%B+B)%B;
    cout << tx << endl;
    return 0;
}