【Educational Codeforces Round 101 (Rated for Div. 2) D】Ceil Divisions

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翻译

定义一个数组 \(a_i = i\)

你每次可以选择两个下标 \(i\) 和 \(j\)，让你用 \(a_i\) 去除 \(a_j\) (向上取整)。

希望最后 \(n\) 个数字中剩下 \(n-1\) 个 \(1\) 以及 \(1\) 个 \(2\)。

且操作的次数不能超过 \(n+5\) 次。

题解

思路是这样的，对于 \(1\) 的产生，只需用 \(i\) 去除 \(i+1\) 即可。

看样子我们只需要进行 \((i,i+1)\) 就能完成这个任务，但是有一个问题，最大的 \(n\) 没有 \(n+1\) 让他进行除了。

想法是留一个比较小的数字 \(x\)，让 \(n\) 一直去除 \(x\)。

\(x\) 为 \(2\) 的话，太小了，要除的次数太多了。

所以就一直试这个数字 \(x\)，发现 \(x=64\) 时是合适的。

那么就用 \((i,i+1)\) 这样的操作把除了 \(2,64,n\) 这三个数字之外的数字都变成 \(1\)。

然后用 \(n\) 不断除 \(64\),因为 \(64^3\) 就大于 \(2*10^5\) 了，所以只需三次操作。

而 \(64\) 变成 \(1\) 则需要除 \(2\) 六次。

再加上 \((i,i+1)\) 的 \(3..63\) 以及 \(65..n-1\) 的 \(n-4\) 次。

那么最多的操作次数就为 \(n-4+6+3=n+5\) 次操作。

对于 \(n\) 小于等于 \(64\) 的情况，就直接保留 \(n\) 和 \(2\) ，然后用 \(n\) 除 \(2\) 就行了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

const int N = 2e5;

int T, n,tot;
int x[2*N + 10], y[2*N + 10];

void addOpe(int i, int j) {
	x[++tot] = i;y[tot] = j;
}

void outAnswer() {
	cout << tot << endl;
	for (int i = 1; i <= tot; i++) {
		cout << x[i] << " " << y[i] << endl;
	}
}

int main() {
	#ifdef LOCAL_DEFINE
		freopen("in.txt", "r", stdin);
	#endif // LOCAL_DEFINE
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	cin >> T;
	
	while(T--){
		tot = 0;
		cin >> n;
		if (n <= 64) {
			for (int i = 3; i <= n - 1; i++) {
				addOpe(i, i + 1);
			}
			//a[3..n-1]=1
			int an = n;
			while (an != 1) {
				addOpe(n, 2);
				an = ceil(1.0 * an / 2.0);
			}
		}
		else {
			const int mid = 64;
			//n>100
			for (int i = 3; i <= mid-1; i++) {
				addOpe(i, i + 1);
			}
			//a[3..mid-1] = 1
			for (int i = mid+1; i <= n - 1; i++) {
				addOpe(i, i + 1);
			}
			//a[mid+1..n-1]=1
			int an = n;
			while (an != 1) {
				addOpe(n, mid);
				an = ceil(1.0 * an / mid);
			}
			int amid = mid;
			while (amid != 1) {
				addOpe(mid, 2);
				amid = ceil(1.0 * amid / 2);
			}
		}
		outAnswer();
	}
	return 0;
}