【Codeforces Round #698 (Div. 2) C】Nezzar and Symmetric Array

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翻译

给你 \(2n\) 个数字, 每个数字各不相同，如果 \(a[i]\) 存在的话，那么 \(-a[i]\) 也会存在于这个数组中。

定义 \(d_i\) 为 \(a_i\) 和所有数字的差的绝对值之和。

现在告诉你 \(d_i\)，让你还原出来原始的 \(a_i\)。

题解

我们假设 \(a_1,a_2,a_3...a_n\) 分别为最大的 \(n\) 个正数(会对应 \(n\) 个负数)，且从大到小排序。

那么，\(a_1\) 对应的 \(d_i\) 的值中绝对值的形式就可以去掉了，因为不管减还是加上某个数都是正的了。

\(a1+x\),\(a1-x\)...

可以想见最后的 \(d_i\) 的值就是 \(2*n\) 个 \(a_1\)。

然后考虑 \(a_2\)。

会发现除了 \(|a_2-a_1|\) 是负数，会变为 \(-a_2+a_1\) 之外，其他的项都是正数，绝对值可以去掉。

而这可以和 \(a_2-(-a_1)\) 即 \(a_2+a_1\) 抵消掉 \(a_2\)

那么 \(d_2\) 的值就为 \(2*a_1+(n-2)*a_2\), 发现了吧，以此类推 \(d_3=2*a_1+2*a_2+(n-4)*a_3\)。

并且 \(d\) 的值也是单调递减的。根据能否整除，以及 \(a_1\) 到 \(a_n\) 都是正数且下降这些性质验证一下算出来的 \(a_i\) 是不是对的就好了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
 
const int N = 2e5;
 
int T,n;
LL d[N + 10],a[N+10];
 
int main() {
	#ifdef LOCAL_DEFINE
		freopen("in.txt", "r", stdin);
	#endif // LOCAL_DEFINE
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	cin >> T;
	
	while (T--) {
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
			cin >> d[i];
		}
		sort(d + 1, d + 1 + 2*n);
		bool check = true;
		for (int i = 2; i <= 2 * n; i += 2) {
			if (d[i] != d[i - 1]) {
				check = false;
			}
		}
		reverse(d + 1, d + 1 + 2*n);
		int cur = 2*n;
		LL temp = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			int j = 2 * i;
			d[j] -= temp;
			if (d[j] % cur != 0) {
				check = false;
			}
			a[i] = d[j] / cur;
			if (a[i] <= 0) {
				check = false;
			}
			if (i > 1 && a[i] >= a[i - 1]) {
				check = false;
			}
 
			temp += 2 * a[i];
			cur -= 2;
		}
 
		if (!check) {
			cout << "NO" << endl;
		}
		else {
			cout << "YES" << endl;
		}
	}
	return 0;
}