【Educational Codeforces Round 102 C】No More Inversions

题目链接

链接

翻译

给你一个序列 $a$, 是 1,2,3...k 按顺序组成的 $n\ (n>=k)$ 个数字, 超过 $k$ 了，又从右往左取。

然后，让你确定一个排列 $p$，使得它按照 $a$ 中元素作为下标顺序取，得到的序列 $b$ 中逆序对的个

数不超过原序列 $a$。并且，要求得到的序列 $b$ 的字典序是最大的。

题解

做这题之前，先得知道这么一个结论。

s[1],s[2],s[3]...s[p-2],s[p-1],s[p],s[p-1],s[p-2]...s[1]

这样的长度为 $2*p$ 的序列，只要它满足任意两个数字都不同，那么不论 $s$ 是啥，它的逆序对的个数都为 $(p-1)^2$。

这样证:从中任取两个不相同的数字 $x$ 和 $y$，设他们在这个长度为 $2*p$ 的序列中的相对位置如下:

x...y...y...x 或者是 x...y....x。其中后者对应 $y$ 是元素 s[p]。

那么会发现，前者无论是 $x>y$ 或者 $x<y$。对逆序对贡献都是 $2$，而后者对逆序对贡献都是 $1$。

那么总的逆序对数就为 $2*\frac{(p-1)*(p-2)}{2}+(p-1)$ 也即 $(p-1)^2$。

怎么用这个结论呢。

我们设 $m=n-k$。

那么，$a$ 根据下标就可以分为 $1..k-m-1$ 和 $k-m..k+m$ 这么两段。

而这里的第二段显然就是我们上面提到的逆序对数固定的部分，而第一部分单独不贡献逆序对，这两段之间因为第二段的

数字都大于第一段, 所以也不会贡献逆序对.

那么逆序对就全都在 $k-m..k+m$ 这一段出现。

则我们新得到的长度为 $n$ 的序列 $b$ 也应该遵循这样的规则，即第一段不贡献逆序对 1,2,...k-m-1。

然后第二段里面的值都比第一段大，但是第二段这时可以任意了，因为根据上面的证明，第二段里面数字是什么，最后

贡献的逆序对都是一样的。

当然选字典序最大的了，也即选 k,k-1,...k-m。这样就组成了我们的排列 $p$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

int T,n,k;

int main() {
	#ifdef LOCAL_DEFINE
		freopen("in.txt", "r", stdin);
	#endif // LOCAL_DEFINE

	cin >> T;
	
	while (T--) {
		cin >> n >> k;
		int m = n - k;
		for (int i = 1; i <= k - m - 1; i++) {
			cout << i << " ";
		}
		for (int i = k - m,j=0; i <= k; i++,j++) {
			cout << k - j << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	return 0;
}