【Codeforces 1338B】Edge Weight Assignment

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翻译

让你构造一棵树，使得任意两个叶子节点之间路径的权重异或和为 \(0\)。

并且，树中用到的边的权重的不同值的个数设为 \(f\)，让你求 \(f\) 的最大值和最小值。

题解

最小值不会超过 \(3\)。

可以转化为是在给每个点标记数字，然后边上的权重就是连接它们两个点上标的数字的异或值。

这样的话，只要保证任意两个叶子节点上标记的数字是一样的，就能满足题意了。

我们可以把所有的叶子都标记上 \(1\)，然后中间的非叶子节点标记上 \(2\) 或 \(3\) (因为权重要大于 \(0\)，所以相邻两个节点权重不能相同)。

可以想见，如果只用 \(1\) 和 \(2\) 就能让树上相邻两个点数字不同(且叶子节点数字都相同)，那么只会产生一种边权，最小答案就可以为 \(1\)，否则 \(3\)

个数字，两两异或最多组成 \(3\) 种权重。因此最小答案的最大值就为 \(3\)。

关于等于 \(1\) 的判断，可以选择一个叶子节点作为根进行 \(dfs\) 然后求出它到其他叶子节点的距离，如果满足这些到叶子节点的距离都为偶数。那么就可以

为 \(1\)，因为任意两个节点的树上距离为 \(dis(x,root)+dis(y,root)-2*dis(lca(x,y),root)\)。

对于最大值的情况，显然只要让边权为 \(2^0,2^1,2^2....\) 然后和叶子节点连接的那个边权等于前面这些数字的和就好了,即二进制全为 \(1\)。

这样的话，理想情况下我们所有边的边权都可以不同。

但是理想是丰满的，现实是残酷的。对于连在同一个节点上的两个叶子节点，它们俩和这个节点的边权必然是相同的，所以要减掉。

直接给结论吧，最大值为 \(n-1-cntLeaf+cntSpecial\) 这里的 \(cntSpecial\) 是所有和叶子节点有连接的点的个数。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

const int N = 1e5;

int n;
int du[N+10],dis[N+10];
vector<int> g[N+10];

//[6]写dfs
void dfs(int x,int fa){
    for (int y:g[x]){
        if (y==fa){
            continue;
        }
    //[7]统计到这个点的距离
        dis[y] = dis[x] + 1;
        dfs(y,x);
    }
}

int main(){
    // freopen("C://1.cppSourceProgram//rush.txt","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
    //step1 输入数据
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n-1; i++){

        int x,y;
        cin >> x >> y;
        //step2 统计度信息
        du[x]++;du[y]++;
        // 5 简图
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }
    //step3 找个度为 1 的叶子当根
    int root = 1;
    for (int i = 2;i <= n; i++){
        if (du[i] == 1){
            root = i;
        }
    }
    //step4 从root 开始做 dfs

    dfs(root,-1);

    int mi = 1;
    //[8]看看是不是到所有叶子节点的距离都为偶数
    for (int i = 1;i <= n; i++){
        if (dis[i]%2!=0 && du[i] == 1){
            mi = 3;
        }
    }
    cout << mi <<" ";
    //[9] 找和叶子节点相邻的节点数目
    int cnt1 = 0;
    //[10] 叶子节点数
    int cntLeaf = 0;
    for (int i = 1;i <= n; i++){
        if (du[i] == 1){
            cntLeaf++;
        }
        int ok = 0;
        for(int y:g[i]){
            if (du[y] == 1){
                ok=1;
            }
        }
        cnt1+=ok;
    }
    // [11] math
    int ma = n - 1 - cntLeaf + cnt1;
    cout << ma << endl;
    return 0;
}