抽象话练习。

定理. 设 \(F\) 是无限域, \(V\) 是 \(n\) 维 \(F\)-向量空间, \(T\in\mathrm{End}(V)\), 则 \(V\) 只有有限个 \(T\)-不变子空间当且仅当 \(T\) 是循环的.

\(\impliedby\): 设有 \(F[X]\)-模同构 \(V\simeq F[X]/(d)\), 设 \(W\) 是 \(F[X]/(d)\) 的子模 (对应 \(V\) 的 \(T\)-不变子空间), 则 \(W+(d)\) 是 \(F[X]\) 的理想, 设为 \((f)\), 其中 \(f\) 首一且整除 \(d\), 则 \(W=(f)/(d)\), 而这样的 \(f\) 仅有有限个, 所以 \(W\) 也只有有限个.

\(\implies\): 若 \(T\) 不是循环的, 设有 \(F[X]\)-模同构 \(V\simeq\bigoplus_{i=1}^rF[X]/(d_i)\), 其中 \(r\ge 2\), \(d_1\mid\cdots\mid d_r\). 对 \(t\in F\) 设 \(W_t\) 是由 \((t,1,0,\ldots,0)\) 生成的子模, 则对任意 \(w\in W_t\) 都有 \(w_1=w_2t\bmod d_1\), 所以当 \(s\ne t\) 时 \(W_s\ne W_t\), 即有无限个 \(T\)-不变子空间.