线性代数复习：Jordan 标准型
本学期的“高等代数 (实验班)”以 PID 上的有限生成模结构定理导出 Jordan 标准型理论, 由于这实在太魔怔所以绝版了, 在这里记录一下以表怀念(
本文假定读者熟悉基本的环论知识, 参考了《代数学方法》以及香蕉空间等网络资料.
对于交换环 \(R\), 定义 \(R\)-模是指交换群 \((M,+)\) 附带纯量乘法 \(R\times M\to M\) 满足分配律, 结合律以及幺元性质 (\(1_R\cdot m=m\)). 子集对运算封闭就称为子模, 保持运算的映射称为同态, 同理有商模和同态基本定理.
类比其他代数结构的直和构造, 定义集合 \(X\) 上的自由模 \(R^{\oplus X}\). 对于 \(R\)-模 \(M\) 的子集 \(X\), 包含映射 \(X\hookrightarrow M\) 诱导同态 \(\sigma:R^{\oplus X}\to M\):
- 若 \(\sigma\) 是单射, 则称 \(X\) 是线性无关或自由的; 否则称为线性相关的;
- 若 \(\sigma\) 是满射, 则称 \(X\) 为 \(M\) 的生成集.
具有有限生成集的模称为有限生成模, 线性无关生成集称为基, 具有基的模称为自由模.
命题 1. 若 \(R^{\oplus X}\simeq R^{\oplus Y}\), 则 \(|X|=|Y|\), 由此定义自由 \(R\)-模 \(M\) 的秩 \(\mathrm{rk}_R(M)\).
设 \(\mathfrak m\) 是 \(R\) 的极大理想, 则对 \(R\)-模 \(M\) 都有 \(M/\mathfrak mM\) 是 \(R/\mathfrak m\)-模, 也即 \(R/\mathfrak m\)-向量空间 (\(R/\mathfrak m\) 是域), 特别当 \(M=R^{\oplus X}\) 时有向量空间的同构 \(M/\mathfrak mM\simeq(R/\mathfrak m)^{\oplus X}\), 因此 \(|X|=\dim_{R/\mathfrak m}(M/\mathfrak mM)\), 即 \(|X|\) 不依赖于基的选取.
以下假定 \(R\) 是 PID (主理想整环).
命题 2. 设 \(E\) 是秩 \(n\in\mathbb Z_{\ge 0}\) 自由 \(R\)-模, \(M\) 是 \(E\) 的子模, 则 \(M\) 自由且 \(\mathrm{rk}_R(M)\le n\).
对 \(n\) 归纳, 当 \(n=0\) 时显然.
当 \(n\ge 1\) 时, 取 \(E\) 的一组基 \((e_1,\ldots,e_n)\), 令 \(E':=\bigoplus_{i=2}^nRe_i\), 坐标投影 \(p_1:E\twoheadrightarrow R\), 理想 \((d):=p_1(M)\), 若 \(d=0\) 则 \(M\subseteq E'\), 由归纳假设得证.
否则取 \(x\in M\) 使得 \(p_1(x)=d\), 令 \(N':=N\cap E'\), 则 \(N=Rx\oplus N'\), 由归纳假设得证.
对于有限生成 \(R\)-模 \(M\), 设生成集 \(X\) 诱导满同态 \(\sigma:R^{\oplus X}\twoheadrightarrow M\), 则 \(\ker\sigma\) 是 \(R^{\oplus X}\) 的子模且 \(M\simeq R^{\oplus X}/\ker\sigma\), 由上述命题知 \(\ker\sigma\) 是自由 \(R\)-模, 取一组基 \((e_1,\ldots,e_k)\) 以及在 \(R^{\oplus X}\) 内的坐标分量, 排列成规模为 \(|X|\times k\) 的矩阵 \((e_1\mid\cdots\mid e_k)\), 容易验证其在相抵变换 i.e. 行变换 (\(R^{\oplus X}\) 的基变换) 和列变换 (\(\ker\sigma\) 的基变换) 下保持 \(M\) 同构, 故问题化约为下述 Smith 标准型.
引理 3 (升链条件). 环 \(R\) 不存在理想严格升链.
反证, 设 \(I_1\subset I_2\subset\cdots\) 是理想严格升链, 令 \(I:=\bigcup_{n=1}^\infty I_n\), 则 \(I\) 是理想, 设 \(I=(d)\), 则 \(d\in I\), 所以存在 \(n\in\mathbb Z_{\ge 1}\) 使得 \(d\in I_n\), 所以 \(I\subseteq I_n\), 矛盾.
定理 4. 设 \(A\in\mathrm M_{m\times n}(R)\), 则 \(A\) 相抵于 \(\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_r,0_{(m-r)\times(n-r)})\), 其中 \(d_i\in R\setminus\{0\}\), \(d_i\mid d_{i+1}\), 且 \(d_1,\ldots,d_r\) 在相伴意义下唯一, 称为 \(A\) 的不变因子, \(D_i=d_1\cdots d_i\) 是 \(A\) 的所有 \(i\) 阶子式的 \(\gcd\), 称为 \(A\) 的行列式因子.
存在性: 若 \(A=0\) 则已完成, 否则由初等变换设 \((1,1)\) 处元素 \(a\ne 0\), 目的是将第 \(1\) 行和第 \(1\) 列其他元素变为 \(0\), 对子矩阵递归即可变换到对角阵. 若有第 \(1\) 列其他元素 \(b\ne 0\), 不妨设为第 \(2\) 行, 设 \(d:=\gcd(a,b)\), 则有 \(s,t\in R\) 使得 \(sa+tb=d\), 令 \(u:=-b/d\), \(v:=a/d\), 则 \(sv-tu=1\), 令 \(A\) 左乘可逆矩阵
\[\mathrm{diag}(\begin{pmatrix}s & t \\ u & v\end{pmatrix},1_{(m-2)\times(n-2)}) \]即得 \((1,1)\) 处元素为 \(d\), \((1,2)\) 处元素为 \(0\), 故变换后第 \(1\) 列仅有 \(A_{11}\ne 0\). 同理可将第 \(1\) 行变换为仅有 \(A_{11}\ne 0\), 但此时第 \(1\) 列的性质可能被打破, 若确实如此则重复上述步骤, 由升链条件知有限步内可以变换到 \(A_{11}\) 整除第 \(1\) 行和第 \(1\) 列其他元素的情形, 此时直接消元即可.
我们现在已经变换到对角阵, 若有 \(d_i\nmid d_j\pod{i<j}\), 将第 \(i\) 行加到第 \(j\) 行, 并重复上述步骤, 变换后 \(d_i'=\gcd(d_i,d_j)\) 而 \(d_j'\) 是 \(d_i,d_j\) 的线性组合, 所以 \(d_i'\mid d_j'\). 容易发现有限步内结束 (应用升链条件或构造操作顺序应该都可(?)
唯一性: 只需证明相抵变换不改变行列式因子: 对于 \(P\in\mathrm M_{m\times m}(R)\), 矩阵 \(PA\) 的行是 \(A\) 的行的线性组合, 由行列式的多线性性知 \(PA\) 的 \(i\) 阶子式是 \(A\) 的 \(i\) 阶子式的线性组合, 故 \(PA\) 的行列式因子被 \(A\) 的整除, 当 \(P\) 可逆时同理得 \(P^{-1}(PA)\) 的行列式因子被 \(PA\) 的整除, 从而相伴, 右乘 (列变换) 同理.
推论 5 (不变因子分解). 有限生成 \(R\)-模 \(M\) 可表为
其中 \(d_i\in R\setminus R^\times\), \(d_i\mid d_{i+1}\), 称为 \(M\) 的不变因子, 在相伴意义下唯一.
承接先前讨论, \(\ker\sigma\) 的某组基在 \(R^{\oplus X}\) 的某组基下表为 \(\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_r,0_{(m-r)\times(n-r)})\), 所以存在性和唯一性都归结于 Smith 标准型.
推论 6 (准素分解). 有限生成 \(R\)-模 \(M\) 可表为
其中 \(f\in\mathbb Z_{\ge 0}\), \(q_i\) 是素元的正整数次幂, 称为 \(M\) 的初等因子, 在相伴和重排意义下唯一.
存在性: 给定不变因子分解, 只需对 \(R/(d_i)\) 求出准素分解. 若 \(d_i=0\) 则已完成, 否则设 \(d_i=\prod_{i=1}^{n_i}q_{i,j}\) 是素因子分解, 由中国剩余定理知 \(R/(d_i)\simeq\bigoplus_{j=1}^{n_i}R/(q_{i,j})\).
唯一性: 给定准素分解, 将所有初等因子如下排列成表格: 将同一素元的初等因子排到一行, 同一行内按次数从小到大排序, 然后把右端元素对齐. 设共有 \(r\) 列非空, \(d_i\) 表示第 \(i\) 列的元素乘积, 则 \(d_1\mid\cdots\mid d_r\) 即为 \(M\) 的不变因子.
现在终于可以回到我们的矩阵相似标准型了: 给定域 \(F\), 注意到 \(F\)-向量空间 \(V\) 附带线性映射 \(\varphi\in\mathrm{End}(V)\) 给出 \(V\) 的 \(F[X]\)-模结构, 而 \(F[X]\) 是 PID. 假定 \(\dim V\) 有限, 对其应用上述分解即得如下两个标准型.
定理 7 (Frobenius 标准型). 设 \(A\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)\), \(X\cdot 1_{n\times n}-A\) 的不变因子为 \(d_1(X)\mid\cdots\mid d_r(X)\), 则 \(A\) 相似于分块对角矩阵 \(\mathrm{diag}(C_1,\ldots,C_r)\), 其中 \(C_i\) 是 \(d_i(X)\) 的友矩阵.
不变因子分解给出 \(F[X]\)-模同构 \(V\simeq\bigoplus_{i=1}^rF[X]/(d_i)\), 回想先前证明中所需操作的矩阵即为 \(X\cdot 1_{n\times n}-A\). 在每个直和项中取基 \(1,X,\ldots,X^{\deg d_i-1}\) 即得友矩阵.
定理 8 (Jordan 标准型). 设 \(F\) 是代数闭域, \(A\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)\), \(X\cdot 1_{n\times n}-A\) 的初等因子为 \((X-\lambda_1)^{r_1},\ldots,(X-\lambda_k)^{r_k}\), 则 \(A\) 相似于分块对角矩阵 \(\mathrm{diag}(J_{r_1}(\lambda_1),\ldots,J_{r_k}(\lambda_k))\), 其中 \(J_r(\lambda)\) 是特征值为 \(\lambda\) 的 \(r\) 阶 Jordan 块.
准素分解给出 \(F[X]\)-模同构 \(V\simeq\bigoplus_{i=1}^kF[X]/((X-\lambda_i)^{r_i})\).
在每个直和项中取基 \(1,X-\lambda_i,\ldots,(X-\lambda_i)^{r_i-1}\) 即得 Jordan 块.
