ARC094F Normalization

给定字符串 \(S\)，每次操作选择两个不同的相邻字符，将其变成不同的另外一个（如 ab\(\rightarrow\)cc）

求经过这种操作能变成的字符串数量\(\bmod 998244353\)。

\(2\le |S|\le 2\cdot 10^5,\Sigma=\{\texttt{a,b,c}\}\)。

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对于字符串 \(T\)，找一些 \(S\) 能变成 \(T\) 的充要条件。首先 \(S=T\) 不言而喻，只考虑 \(S\ne T\) 的情况。

• \(T\) 必须有两个连续字符相同。
• 令 abc 的权值分别为 \(0,1,2\)，则权值之和 \(\text{sum}(S)\bmod 3\) 不变。

事实证明这个东西在大部分情况下都是必要的，除了 \(|S|=\text{sum}(S)=3\) 也就是第一个样例的情况，直接特判跑路即可。

回到原问题，先特判掉 \(S\) 全相等和 abc 的排列的情况。

设 \(k=\text{sum}(S)\)，求有多少个 \(T\) 使得 \(\text{sum}(T)\equiv k\pmod 3\)，且 \(T\) 中有两个连续字符相同。

反面考虑，变成求有多少个 \(T\) 满足 \(\text{sum}(T)\equiv k\pmod 3\)，且 \(T\) 中任意两个连续字符都不同。

当 \(3\nmid n\) 时根据对称性，答案显然为 \(2^{n-1}\)，当 \(3|n\) 时麻烦一点，算一算 \((x+x^2)^{2n/3}\bmod(x^3-1)\) 就可以得到答案为：

\[3^{n-1}-2^{n-1}+[3|n](1-3[3|k])2^{n/3-1}+[\forall i\in[1,n),S_i\ne S_{i+1}] \]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 200003, mod = 998244353;
int n, k, ans; char S[N]; bool flg1, flg2;
int ksm(int a, int b){
	int res = 1;
	for(;b;b >>= 1, a = (LL)a * a % mod)
		if(b & 1) res = (LL)res * a % mod;
	return res;
} void qmo(int &x){x += x >> 31 & mod;}
int main(){
	scanf("%s", S); n = strlen(S);
	for(int i = 0;i < n;++ i) k += S[i] - 'a';
	for(int i = 0;i < n-1;++ i)
		if(S[i] == S[i+1]) flg1 = true; else flg2 = true;
	if(!flg2) return puts("1"), 0;
	if(n == 3 && k == 3) return puts("3"), 0;
	qmo(ans = !flg1 + ksm(3, n-1) - ksm(2, n-1));
	if(!(n % 3)){
		if(k % 3) qmo(ans += ksm(2, n / 3 - 1) - mod);
		else qmo(ans -= ksm(2, n / 3));
	} printf("%d\n", ans);
}