LOJ2327 「清华集训 2017」福若格斯 【不平等博弈】
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对于这道题，我们要分3步来做它。
- 什么是 Surreal Number 及如何解决博弈问题。
- 如何用 Surreal Number 解决这道题。
- 推出结论之后如何计数
首先看看这篇文章（如果真要看那本书的话会耗死你）
然后我们来总结总结。
首先，博弈局面可以对应到超现实数，它的左集是\(\text{L}\)走一步的局面，右集是\(\text{R}\)走一步的局面，用\(\text{L}\)是否“赢得更爽”来判定大小，显然左集的数都小于它，它也小于右集的数（因为多走一步就是更接近无法行动）
那游戏的相反数是什么呢？显然就是将\(\text{L}\)和\(\text{R}\)玩家调换，然后就可以了。
还有游戏的和。我们知道游戏的和是两个游戏可以选一个走，那么
\[x+y=\{(x_L+y)\cup(x+y_L)|(x_R+y)\cup(x+y_R)\}
\]
我们发现它满足普通\(+\)的一堆运算律。所以它就是超现实数的加法了。
至于乘法，这东西对博弈游戏没有用，不管了。
然后我们发现，正数表示\(\text{L}\)必胜，负数表示\(R\)必胜，\(0\)表示后手必胜。现在已经推出了一个结论，于是你开始手玩这道题的23个局面。
但是你发现还有一种新东西叫做\(*=\{0|0\}\)，它是一个先手必胜的状态，并且还有两个东西叫做\(\uparrow=\{0|*\}\)和\(\downarrow=\{*|0\}\)。用这些东西推推可以得到一些结论。
- \(*,\uparrow,\downarrow\)加上一个正数都是\(\text{L}\)必胜，加上一个负数都是\(\text{R}\)必胜。换句话说，非0数对这三个东西是绝对的（自己造了个词）
- \(*+*=0\)，所以偶数个\(*\)会互相抵消。
- \(\uparrow>0,\downarrow<0,\uparrow+\downarrow=0\)，所以\(\uparrow\)和\(\downarrow\)可以互相抵消。但是要注意\(*=\{\downarrow|\uparrow\}\)。
- \(*+\uparrow+\uparrow>0,*+\downarrow+\downarrow<0\)，而\(*+\uparrow,*+\downarrow\)都是先手赢的局面。也就是说，\(2\uparrow>*>\uparrow>0\)，而\(\downarrow\)同理（注意\(*\)是没有符号的）
于是你根据这些东西，就可以讨论出以下的结论（以下将\(\downarrow\)视作\(-\uparrow\)）：
-
若\(*\)个数为偶数
-
若\(\sum 数字>0\or(\sum 数字=0\and \sum\uparrow>0)\)，则\(\text{L}\)胜。
-
若\(\sum 数字=0\and \sum\uparrow=0\)，则后手胜。
-
若\(\sum 数字<0\or(\sum 数字=0\and\sum\uparrow<0)\)，则\(\text{R}\)胜。
-
-
若\(*\)个数为奇数
- 若\(\sum 数字>0\and(\sum 数字=0\and\sum\uparrow>1)\)，则\(\text{L}\)胜。
- 若\(\sum 数字=0\and |\sum\uparrow|\le 1\)，则先手胜
- 若\(\sum 数字<0\or (\sum 数字=0\and\sum\uparrow<-1)\)，则\(\text{R}\)胜。
还有这个游戏的局面
然后你发现，它是求\(2^m\)种情况中四种情况的和。所以还要考虑如何计数。
首先\(\text{num},*,\uparrow\)是相互独立的，所以你可以求出有多少种情况满足\(\sum \text{num}\)大于\(0\)，小于\(0\)和等于\(0\)，求出满足\(\sum \uparrow\)大于\(1\)，小于\(-1\)和\([-1,1]\)的情况。
上面两个东西是同理的，所以只说前一个，设\(a,b,c,d\)表示\(-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\)的数量，那么就是求
\[(1+x^{-2})^a(1+x^{-1})^b(1+x)^c(1+x^2)^d=\frac{(1+x)^{b+c}(1+x^2)^{a+d}}{x^{2a+b}}
\]
的次数\(>0\)，\(<0\)，\(=0\)对应的系数。首先把\((1+x)^{b+c}\)按照二项式定理展开，然后枚举\((1+x^2)^{b+d}\)的每一项，你发现\(>0\)和\(<0\)对应的是\((1+x)^{b+c}\)的两段。用前缀和搞搞就可以了。
最后合并就是用乘法原理搞搞就可以了。
具体可以看这个4KB多的代码。
#include<bits/stdc++.h>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2000003, mod = 998244353;
int Id, T, n, cnt[8], fac[N], inv[N], x[N];
inline void upd(int &a, int b){a += b; if(a >= mod) a -= mod;}
inline int sub(int a, int b){return (a < b) ? (a - b + mod) : (a - b);}
inline int add(int a, int b){return (a + b >= mod) ? (a + b - mod) : (a + b);}
inline int kasumi(int a, int b){
int res = 1;
while(b){
if(b & 1) res = (LL) res * a % mod;
a = (LL) a * a % mod; b >>= 1;
}
return res;
}
inline void init(int m){
fac[0] = 1;
for(Rint i = 1;i <= m;i ++) fac[i] = (LL) fac[i - 1] * i % mod;
inv[m] = kasumi(fac[m], mod - 2);
for(Rint i = m;i;i --) inv[i - 1] = (LL) inv[i] * i % mod;
}
inline int C(int n, int m){
if(n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;
return (LL) fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}
/*0-4 : -1~1,5:*, 6:up, 7:down */
int main(){
#ifdef NTFOrzs
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif
scanf("%d%d", &Id, &T); init(2e6);
while(T --){
memset(cnt, 0, sizeof cnt);
scanf("%d", &n);
for(Rint i = 1;i <= n;i ++){
char opt[10]; int x;
scanf("%s%d", opt, &x);
if (!strcmp(opt, "LL_RR")) cnt[5] += x;
else if (!strcmp(opt, "L_LRR")) cnt[6] += x;
else if (!strcmp(opt, "LLR_R")) cnt[7] += x;
else if (!strcmp(opt, "LRL_R")) cnt[5] += x;
else if (!strcmp(opt, "L_RLR")) cnt[5] += x;
else if (!strcmp(opt, "_RLLR")) cnt[0] += x;
else if (!strcmp(opt, "LRRL_")) cnt[4] += x;
else if (!strcmp(opt, "LR_RL")) cnt[1] += x;
else if (!strcmp(opt, "RL_LR")) cnt[3] += x;
else if (!strcmp(opt, "_RLRL")) cnt[0] += x;
else if (!strcmp(opt, "RLRL_")) cnt[4] += x;
else if (!strcmp(opt, "RRL_L")) cnt[4] += x;
else if (!strcmp(opt, "R_RLL")) cnt[0] += x;
else cnt[2] += x;
}
#ifdef NTFOrzs
printf("cnt[0] = %d, cnt[1] = %d, cnt[2] = %d, cnt[3] = %d, cnt[4] = %d, cnt[5] = %d, cnt[6] = %d, cnt[7] = %d\n", cnt[0], cnt[1], cnt[2], cnt[3], cnt[4], cnt[5], cnt[6], cnt[7]);
#endif
for(Rint i = 0;i <= cnt[1] + cnt[3];i ++) x[i] = C(cnt[1] + cnt[3], i);
for(Rint i = 1;i <= cnt[1] + cnt[3];i ++) upd(x[i], x[i - 1]);
int res1 = 0, res2 = 0, res3 = 0;
for(Rint i = 0;i <= cnt[0] + cnt[4];i ++){
int tmp = C(cnt[0] + cnt[4], i), t2 = 2 * (cnt[0] - i) + cnt[1];
upd(res2, (LL) tmp * C(cnt[1] + cnt[3], t2) % mod);
if(t2 >= 1) upd(res1, (LL) tmp * x[min(t2 - 1, cnt[1] + cnt[3])] % mod);
if(t2 >= 0 && t2 <= cnt[1] + cnt[3]) upd(res3, (LL) tmp * sub(x[cnt[1] + cnt[3]], x[t2]) % mod);
else if(t2 < 0) upd(res3, (LL) tmp * x[cnt[1] + cnt[3]] % mod);
}
#ifdef NTFOrzs
printf("%d %d %d\n", res1, res2, res3);
#endif
int ans0 = 0, ans1 = 0, ans2 = 0, ans3 = 0, tmp1 = 0, tmp2 = 0, tmp3 = 0, tmp4 = 0, tmp5 = 0;
for(Rint i = 0;i <= cnt[7];i ++) x[i] = C(cnt[7], i);
for(Rint i = 1;i <= cnt[7];i ++) upd(x[i], x[i - 1]);
for(Rint i = 0;i <= cnt[6];i ++){
int tmp = C(cnt[6], i);
upd(tmp3, (LL) tmp * C(cnt[7], i) % mod);
upd(tmp2, (LL) tmp * C(cnt[7], i + 1) % mod);
upd(tmp4, (LL) tmp * C(cnt[7], i - 1) % mod);
if(i >= 2) upd(tmp5, (LL) tmp * x[min(i - 2, cnt[7])] % mod);
if(i <= cnt[7] - 2) upd(tmp1, (LL) tmp * sub(x[cnt[7]], x[i + 1]) % mod);
}
#ifdef NTFOrzs
printf("%d %d %d %d %d\n", tmp1, tmp2, tmp3, tmp4, tmp5);
#endif
upd(ans0, add(tmp4, tmp5)); upd(ans1, add(tmp1, tmp2)); upd(ans3, tmp3);
if(cnt[5] > 0){
upd(ans0, tmp5); upd(ans1, tmp1); upd(ans2, add(tmp2, add(tmp3, tmp4)));
#ifdef NTFOrzs
printf("%d %d %d %d\n", ans0, ans1, ans2, ans3);
#endif
int tmp = kasumi(2, cnt[5] - 1);
ans0 = (LL) ans0 * tmp % mod;
ans1 = (LL) ans1 * tmp % mod;
ans2 = (LL) ans2 * tmp % mod;
ans3 = (LL) ans3 * tmp % mod;
}
ans0 = (LL) ans0 * res2 % mod * kasumi(2, cnt[2]) % mod;
ans1 = (LL) ans1 * res2 % mod * kasumi(2, cnt[2]) % mod;
ans2 = (LL) ans2 * res2 % mod * kasumi(2, cnt[2]) % mod;
ans3 = (LL) ans3 * res2 % mod * kasumi(2, cnt[2]) % mod;
upd(ans0, (LL) res3 * kasumi(2, cnt[2] + cnt[5] + cnt[6] + cnt[7]) % mod);
upd(ans1, (LL) res1 * kasumi(2, cnt[2] + cnt[5] + cnt[6] + cnt[7]) % mod);
printf("%d %d %d %d\n", ans0, ans1, ans2, ans3);
}
}
