卷积理论 & 高维FWT学习笔记

之前做了那么多生成函数和多项式卷积的题目，结果今天才理解了优化卷积算法的实质。

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首先我们以二进制FWT or作为最简单的例子入手。

我们发现正的FWT or变换就是求$\hat{a}_j=\sum_{i\in j}a_i$，即子集和，那这个是怎么来的呢？

我们假设$a$到$\hat{a}$的转移矩阵为$X$，则

$$(\sum_{j}X_{i,j}a_j)*(\sum_{j}X_{i,j}b_j)=\sum_jX_{i,j}(\sum_{s|t=j}a_sb_t)$$

所以考虑$a_sb_t$的贡献。

$$X_{i,s}*X_{i,t}=X_{i,s|t}$$

所以对于$X$的每一行都有$X_s*X_t=X_{s|t}$

而且由于最后还要进行逆变换，也就是乘上$X^{-1}$，我们知道矩阵可以求逆当且仅当$X$的行列式不为0，所以$X$的任意两行都不相同。

根据这个，我们先假设$X$中只有0和1（因为这样是最简单的），然后$X_{s|t}=1$与$X_s=X_t=1$等价，所以就可以推出来了。

先看$n=8$的情形。

$$X=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$

打表找规律可得

$$X_{i,j}=\prod_{k=0}^{n-1}C_{i[2^k],j[2^k]}$$

其中$i[2^k]$表示$i$在二进制下的第$k$位。

$$C=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$$

然后我们就知道如何进行分治计算这个向量乘矩阵了。（对，就是那个三重循环）

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我们也可以把FFT的矩阵也这样写出来。

$$A=\begin{pmatrix}\omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0 & \omega_n^0 \\\omega_n^0 & \omega_n^1 & \ldots & \omega_n^{n-2} & \omega_n^{n-1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \ldots & \omega_n^{(n-2)(n-1)} & \omega_n^{(n-1)(n-1)}\end{pmatrix}$$

即$A_{i,j}=\omega_n^{ij}$，所以

$$A^{-1}=\frac{1}{n}\begin{pmatrix}\omega_n^{-0} & \omega_n^{-0} & \ldots & \omega_n^{-0} & \omega_n^{-0} \\\omega_n^{-0} & \omega_n^{-1} & \ldots & \omega_n^{-(n-2)} & \omega_n^{-(n-1)} \\\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\\omega_n^{-0} & \omega_n^{-(n-1)} & \ldots & \omega_n^{-(n-2)(n-1)} & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}\end{pmatrix}$$

即$A^{-1}_{i,j}=\frac{\omega_n^{-ij}}{m}$

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UOJ272 【清华集训2016】石家庄的工人阶级队伍比较坚强

我们设$B_{i,j}$表示$f_{i-1}$到$f_i$的转移矩阵。

定义$a\oplus b$表示三进制不进位加法，$a\ominus b$表示三进制不退位减法。易得这两个运算互为逆运算。

则$\forall k,B_{i\oplus k,j\oplus k}=B_{i,j}$，由数学归纳法得$\forall k,B_{i\oplus k,j\oplus k}^n=B_{i,j}^n$即$B_{i,j}^n=B_{0,j\ominus i}^n$

$$f_{n,i}=\sum_{j}f_{0,j}*B_{j,i}^n=\sum_{j}f_{0,j}*B_{0,i\ominus j}^n=\sum_{x\oplus y=i}f_x*B_{0,y}^n$$

所以我们只需要求出$B$矩阵的第一行并与$f_0$做三进制下的异或卷积就可以了。

我们先考虑二进制下的。

$$C=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & -1\end{pmatrix}$$

（$C$矩阵的意义见上）

所以感性理解一下（或者可以自己推一推），三进制的异或卷积的矩阵就是：

$$C=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & \omega & \omega^2 \\1 & \omega^2 & \omega\end{pmatrix}$$

$$C^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & \omega^2 & \omega \\1 & \omega & \omega^2\end{pmatrix}$$

其中$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

但是$\sqrt{3}$运算非常麻烦，还会有精度问题，所以我们取$1,\omega$作为基底而不是$1,i$，即把复数表示成$a+b\omega$的形式。

乘法与$a+bi$的乘法不一样，需要推一推。

$$(a+b\omega)(c+d\omega)=ac+(bc+ad)\omega+bd(-\omega-1)=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega$$

然后就应该是做完了。

#include<cstdio>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 531441;
int n, m, t, p, po[13], cntx[N], cnty[N];
inline void exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(!b){x = 1; y = 0; return;}
    exgcd(b, a % b, y, x); y -= (LL) a / b * x;
}
struct complex {
    int x, y;
    inline complex(int x = 0, int y = 0): x(x), y(y){}
    inline complex operator + (const complex &o) const {return complex((x + o.x) % p, (y + o.y) % p);}
    inline complex operator - (const complex &o) const {return complex((x - o.x + p) % p, (y - o.y + p) % p);}
    inline complex operator * (const complex &o) const {
        return complex(((LL) x * o.x % p - (LL) y * o.y % p + p) % p, ((LL) y * o.x % p + (LL) x * o.y % p - (LL) y * o.y % p + p) % p);
    }
} A[N], B[N];
inline complex kasumi(complex a, int b){
    complex res = complex(1, 0);
    while(b){
        if(b & 1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
inline complex calc1(const complex &a){return complex((p - a.y) % p, (a.x - a.y + p) % p);}
inline complex calc2(const complex &a){return complex((a.y - a.x + p) % p, (p - a.x) % p);}
inline void dft(complex *A){
    for(Rint mid = 1;mid < n;mid *= 3)
        for(Rint j = 0;j < n;j += mid * 3)
            for(Rint k = 0;k < mid;k ++){
                complex x = A[j + k], y = A[j + k + mid], z = A[j + k + mid * 2];
                A[j + k] = x + y + z;
                A[j + k + mid] = x + calc1(y) + calc2(z);
                A[j + k + mid * 2] = x + calc1(z) + calc2(y);
            }
}
inline void idft(complex *A){
    for(Rint mid = 1;mid < n;mid *= 3)
        for(Rint j = 0;j < n;j += mid * 3)
            for(Rint k = 0;k < mid;k ++){
                complex x = A[j + k], y = A[j + k + mid], z = A[j + k + mid * 2];
                A[j + k] = x + y + z;
                A[j + k + mid] = x + calc1(z) + calc2(y);
                A[j + k + mid * 2] = x + calc1(y) + calc2(z);
            }
}
int trans[13][13];
int main(){
    scanf("%d%d%d", &m, &t, &p);
    po[0] = 1;
    for(Rint i = 1;i <= m;i ++) po[i] = (LL) po[i - 1] * 3;
    n = po[m];
    for(Rint i = 1;i <= m;i ++) po[i] %= p;
    if(p == 1){
        for(Rint i = 0;i < n;i ++) puts("0");
        return 0;
    }
    for(Rint i = 0;i < n;i ++) scanf("%d", &A[i].x);
    for(Rint i = 0;i <= m;i ++)
        for(Rint j = 0;i + j <= m;j ++) scanf("%d", trans[i] + j);
    for(Rint i = 0;i < n;i ++){
        cntx[i] = cntx[i / 3] + (i % 3 == 1);
        cnty[i] = cnty[i / 3] + (i % 3 == 2);
        B[i].x = trans[cntx[i]][cnty[i]];
        //printf("%d ", B[i].x);
    }
    //putchar('\n');
    dft(A); dft(B);
    //for(Rint i = 0;i < n;i ++) printf("(%d, %d)\n", A[i].x, A[i].y);
    //for(Rint i = 0;i < n;i ++) printf("(%d, %d)\n", B[i].x, B[i].y);
    for(Rint i = 0;i < n;i ++) A[i] = A[i] * kasumi(B[i], t);
    idft(A);
    int inv, tmp;
    exgcd(n, p, inv, tmp);
    inv = (inv + p) % p;
    for(Rint i = 0;i < n;i ++)
        printf("%d\n", (LL) A[i].x * inv % p);
}