Luogu5155 [USACO18DEC]Balance Beam

题目链接：洛谷

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这道题看起来是个期望题，但是其实是一道计算几何（这种题太妙了）

首先有一个很好的结论，在一个长度为$L$的数轴上，每次从$x$处出发，不停地走，有$\frac{x}{L}$的概率从右端点掉下去，$\frac{L-x}{L}$从左端点掉下去。

这个证明的话，感性理解一下。

令$l_x$表示从$x$处掉到左端点的概率，则$l_0=1,l_L=0$，且对于$x\in (0,L)$，$l_x=\frac{l_{x-1}+l_{x+1}}{2}$，所以$l_x$构成一个等差数列，所以得证。

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显然，我们肯定是不能一直走的，不然得分肯定是0，但是我们可以“掉进”一些权值比较高的点使得答案最优，我们称这些点为“停止点”。

设从$x$处出发。

如果$x$本身就是“停止点”，那么答案就是$f_x$。（$f_x$为这个点的权值）

否则$x$左右两侧的最近的“停止点”为$a,b$，这种策略的答案为$f_a*\frac{b-x}{b-a}+f_b*\frac{x-a}{b-a}$

我们发现它就是$(a,f_a),(b,f_b)$两点连接的线段在$x$处的$y$值。

所以我们维护对$(x,f_x)(x\in [0,n+1])$这$n+2$个点计算出上凸包，然后就是直接贪心计算了。

#include<cstdio>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100003;
struct Point {
    LL x, y;
    inline Point operator - (const Point &o) const {return (Point){x - o.x, y - o.y};}
    inline LL operator * (const Point &o) const {return x * o.y - y * o.x;}
} p[N];
int n, top;
LL a[N];
inline void push(Point now){
    while(top > 1 && (now - p[top - 1]) * (p[top] - p[top - 1]) < 0) -- top;
    p[++ top] = now;
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(Rint i = 0;i <= n + 1;i ++){
        if(i && i <= n) scanf("%lld", a + i), a[i] *= 100000;
        push((Point){i, a[i]});
    }
    int now = 1;
    for(Rint i = 1;i <= n;i ++){
        while(p[now].x < i) ++ now;
        if(p[now].x == i) printf("%lld\n", p[now].y);
        else {
            printf("%lld\n", (LL) (1.0 * ((i - p[now - 1].x) * p[now].y + (p[now].x - i) * p[now - 1].y) / (p[now].x - p[now - 1].x)));
        }
    }
}