指数型生成函数（EGF）学习笔记

之前，我们学习过如何使用生成函数来做一些组合问题（比如背包问题），但是它面对排列问题（有标号）的时候就束手无策了。

究其原因，是因为排列问题的递推式有一些系数（这个待会就知道了），所以我们可以修改一下生成函数的式子。

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对于数列$\{a_n\}$，它的指数型生成函数（EGF）为

$$F^{(e)}(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_i*\frac{x^i}{i!}$$

至于为什么叫指数形式呢？是因为当$a_n=1$时，$F^{(e)}(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x$

而且对于其他更复杂的EGF也都可以用$e^x$表示出来。

然后我们看看EGF如何做计数问题。

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例题1：对于一个长为$n-2$的序列，元素为$[1,n]$中的整数，且出现次数最多的元素出现$m-1$次，求不同的序列个数。

数据范围：$n,m\leq 5*10^4$

这道题可以先转化为出现次数$\leq m-1$减去出现次数$\leq m-2$。

我们假设$i$在这个序列中出现了$a_i$次。

则答案为$\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^na_i!}$，其中$a_i<m,\sum_{i=1}^na_i=n-2$

所以我们构造

$$F(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\frac{x^i}{i!}$$

$$Ans=(n-2)![x^{n-2}]F^n(x)$$ 

 

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例题2：对于$n$个节点的有标号无根树，每个节点的度数的最大值为$m$，求这样的树的个数。

首先你要知道一个东西叫$prufer$序列，如果想学的可以自行百度，如果不想学的只需知道一下几点。

1.$n$个节点的有标号无根树与长为$n-2$的，元素为$[1,n]$之间整数的序列有一一对应的关系。

2.这个序列中，$i$这个数出现次数$a_i=d_i-1$其中$d_i$为$i$的度数

然后你就知道它和例题2是一样的了。

#include<bits/stdc++.h>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 200003, mod = 998244353, G = 3, Gi = 332748118;
int n, m, fac[N], inv[N], F[N];
inline int add(int a, int b){int x = a + b; if(x >= mod) x -= mod; return x;}
inline int dec(int a, int b){int x = a - b; if(x < 0) x += mod; return x;}
inline int mul(int a, int b){return (LL) a * b - (LL) a * b / mod * mod;}
inline int kasumi(int a, int b){
    int res = 1;
    while(b){
        if(b & 1) res = mul(res, a);
        a = mul(a, a);
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int rev[N];
inline void NTT(int *A, int limit, int type){
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++)
        if(i < rev[i]) swap(A[i], A[rev[i]]);
    for(Rint mid = 1;mid < limit;mid <<= 1){
        int Wn = kasumi(type == 1 ? G : Gi, (mod - 1) / (mid << 1));
        for(Rint j = 0;j < limit;j += mid << 1){
            int w = 1;
            for(Rint k = 0;k < mid;k ++, w = mul(w, Wn)){
                int x = A[j + k], y = mul(A[j + k + mid], w);
                A[j + k] = add(x, y);
                A[j + k + mid] = dec(x, y);
            }
        }
    }
    if(type == -1){
        int inv = kasumi(limit, mod - 2);
        for(Rint i = 0;i < limit;i ++)
            A[i] = mul(A[i], inv);
    }
}
int ans[N];
inline void poly_inv(int *A, int deg){
    static int tmp[N];
    if(deg == 1){
        ans[0] = kasumi(A[0], mod - 2);
        return;
    }
    poly_inv(A, deg + 1 >> 1);
    int limit = 1, L = -1;
    while(limit <= (deg << 1)){limit <<= 1; L ++;}
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << L);
    for(Rint i = 0;i < deg;i ++) tmp[i] = A[i];
    for(Rint i = deg;i < limit;i ++) tmp[i] = 0;
    NTT(tmp, limit, 1); NTT(ans, limit, 1);
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++) ans[i] = mul(dec(2, mul(ans[i], tmp[i])), ans[i]);
    NTT(ans, limit, -1);
    for(Rint i = deg;i < limit;i ++) ans[i] = 0;
}
int Ln[N];
inline void poly_Ln(int *A, int deg){
    static int tmp[N];
    poly_inv(A, deg);
    for(Rint i = 1;i < deg;i ++) tmp[i - 1] = mul(i, A[i]);
    tmp[deg - 1] = 0;
    int limit = 1, L = -1;
    while(limit <= (deg << 1)){limit <<= 1; L ++;}
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << L);
    NTT(tmp, limit, 1); NTT(ans, limit, 1);
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++) Ln[i] = mul(tmp[i], ans[i]);
    NTT(Ln, limit, -1);
    for(Rint i = deg + 1;i < limit;i ++) Ln[i] = 0;
    for(Rint i = deg;i;i --) Ln[i] = mul(Ln[i - 1], kasumi(i, mod - 2));
    Ln[0] = 0;
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++) tmp[i] = ans[i] = 0;
}
int Exp[N];
inline void poly_Exp(int *A, int deg){
    if(deg == 1){
        Exp[0] = 1;
        return;
    }
    poly_Exp(A, deg + 1 >> 1);
    poly_Ln(Exp, deg);
    int limit = 1, L = -1;
    while(limit <= (deg << 1)){limit <<= 1; L ++;}
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << L);
    for(Rint i = 0;i < deg;i ++) Ln[i] = dec(A[i] + (i == 0), Ln[i]);
    NTT(Ln, limit, 1); NTT(Exp, limit, 1);
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++) Exp[i] = mul(Exp[i], Ln[i]);
    NTT(Exp, limit, -1);
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++) Ln[i] = ans[i] = 0;
    for(Rint i = deg;i < limit;i ++) Exp[i] = 0;
}
inline void init(int m){
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for(Rint i = 2;i <= m;i ++) fac[i] = mul(i, fac[i - 1]);
    inv[0] = 0; inv[1] = 1;
    for(Rint i = 2;i <= m;i ++) inv[i] = mul(inv[mod % i], mod - mod / i);
    inv[0] = 1;
    for(Rint i = 2;i <= m;i ++) inv[i] = mul(inv[i], inv[i - 1]);
}
inline int solve(int m){
    memset(Exp, 0, sizeof Exp);
    for(Rint i = 0;i < m;i ++) F[i] = inv[i];
    for(Rint i = m;i < n;i ++) F[i] = 0;
    poly_Ln(F, n);
    for(Rint i = 0;i < n;i ++) F[i] = mul(Ln[i], n), Ln[i] = 0;
    poly_Exp(F, n);
    return mul(fac[n - 2], Exp[n - 2]);
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    init(n);
    printf("%d", dec(solve(m), solve(m - 1)));
}

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。。。

 

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例题3：求$n$个点的有标号无向连通图的个数

我们假设$n$个点的有标号无向图个数$/n!$为$g_n$，答案$/n!$为$f_n$

设这个无向图中有$k$个联通块，因为这$k$个联通块无标号，所以

$$G=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{F^k}{k!}=e^F$$

所以

$$F=\ln G$$

没了？没了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 520003, mod = 1004535809, g = 3, gi = 334845270;
inline int kasumi(int a, int b){
    int res = 1;
    while(b){
        if(b & 1) res = (LL) res * a % mod;
        a = (LL) a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int rev[N];
inline void NTT(int *A, int limit, int type){
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++)
        if(i < rev[i]) swap(A[i], A[rev[i]]);
    for(Rint mid = 1;mid < limit;mid <<= 1){
        int Wn = kasumi(type == 1 ? g : gi, (mod - 1) / (mid << 1));
        for(Rint j = 0;j < limit;j += mid << 1){
            int w = 1;
            for(Rint k = 0;k < mid;k ++, w = (LL) w * Wn % mod){
                int x = A[j + k], y = (LL) w * A[j + k + mid] % mod;
                A[j + k] = (x + y) % mod;
                A[j + k + mid] = (x - y + mod) % mod;
            }
        }
    }
    if(type == -1){
        int inv = kasumi(limit, mod - 2);
        for(Rint i = 0;i < limit;i ++)
            A[i] = (LL) A[i] * inv % mod;
    }
}
int ans[N];
inline void poly_inv(int *A, int deg){
    static int tmp[N];
    if(deg == 1){
        ans[0] = kasumi(A[0], mod - 2);
        return;
    }
    poly_inv(A, deg + 1 >> 1);
    int limit = 1, L = -1;
    while(limit <= (deg << 1)){limit <<= 1; L ++;}
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << L);
    for(Rint i = 0;i < deg;i ++) tmp[i] = A[i];
    for(Rint i = deg;i < limit;i ++) tmp[i] = 0;
    NTT(tmp, limit, 1); NTT(ans, limit, 1);
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++) ans[i] = (2 - (LL) ans[i] * tmp[i] % mod + mod) % mod * ans[i] % mod;
    NTT(ans, limit, -1);
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++) tmp[i] = 0;
    for(Rint i = deg;i < limit;i ++) ans[i] = 0;
}
int Ln[N];
inline void poly_Ln(int *A, int deg){
    static int tmp[N];
    poly_inv(A, deg);
    for(Rint i = 1;i < deg;i ++) tmp[i - 1] = (LL) i * A[i] % mod;
    tmp[deg - 1] = 0;
    int limit = 1, L = -1;
    while(limit <= (deg << 1)){limit <<= 1; L ++;}
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << L);
    NTT(ans, limit, 1); NTT(tmp, limit, 1);
    for(Rint i = 0;i < limit;i ++) Ln[i] = (LL) ans[i] * tmp[i] % mod;
    NTT(Ln, limit, -1);
    for(Rint i = deg + 1;i < limit;i ++) Ln[i] = 0;
    for(Rint i = deg;i;i --) Ln[i] = (LL) Ln[i - 1] * kasumi(i, mod - 2) % mod;
    Ln[0] = 0;
}
int n, A[N], fac[N];
int main(){
    scanf("%d", &n);
    fac[0] = 1;
    for(Rint i = 1;i <= n;i ++) fac[i] = (LL) i * fac[i - 1] % mod;
    for(Rint i = 0;i <= n;i ++)
        A[i] = (LL) kasumi(2, ((LL) i * (i - 1) / 2) % (mod - 1)) * kasumi(fac[i], mod - 2) % mod;
    poly_Ln(A, n + 1);
    printf("%d", (LL) Ln[n] * fac[n] % mod);
}