[GDOI2018]滑稽子图

题目链接：【被和谐】

题目大意：对于一棵树$(V,E)$，对于$S\subset V$，$f(S)$为点集$S$的导出子图的边数。求$\sum_{S\subset V}f(S)^k$

这里的导出子图说的是，点集为S，边集为$\{(u,v)\in E|u,v\in S\}$的一个子图。

---

看到这个$k$次方，马上用斯特林数。

$$ans=\sum_{S\subset V}f(S)^k=\sum_{i=0}^ki!S(k,i)\sum_{S\subset V}{f(S)\choose i}$$

然后考虑怎么求后面那个式子。

这个式子表示在$S$的导出子图里面选$i$条边的方案数，然后就可以树形dp了

设$dp_{x,s,0/1}$表示在以$x$为根的子树内部，选择$s$条边，$x$是否$\in S$的答案。

在新加上一个$x$的子树$v$的时候，$S$只有原来和只有新的子树的情况直接加上就行。

还有合在一起的情况，设原来的子树有$j$条边，$v$里面有$k$条边。

则 $$dp[x][j+k][0]+=(dp[v][k][0]+dp[v][k][1])*dp[x][j][0]$$ $$dp[x][j+k][1]+=(dp[v][k][0]+dp[v][k][1]+[k\not= 0]dp[v][k-1][1])*dp[x][j][1]$$

上面那里为什么要加$dp[v][k-1][1]$呢？因为这时$x$和$v$都在点集里，可以选择$(x,v)$这条边。

注意合在一起的情况还要统计进答案里。

而且由于会出现贡献到自己的情况，所以要用一个辅助数组来存储。

view code 1 #include<cstdio>
#include<cstring>
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100003, mod = 998244353;
int n, m, K, head[N], to[N << 1], nxt[N << 1], size[N];
inline void add(int a, int b){
    static int cnt = 0;
    to[++ cnt] = b; nxt[cnt] = head[a]; head[a] = cnt;
}
LL dp[N][13][2], f[13][2], ans[13], S[13][13];
inline void dfs(int x, int fa){
    size[x] = 1;
    dp[x][0][0] = 0; dp[x][0][1] = 1; ++ ans[0];
    for(Rint i = head[x];i;i = nxt[i])
        if(to[i] != fa){
            dfs(to[i], x);
            memcpy(f, dp[x], sizeof f);
            for(Rint j = 0;j <= K && j <= size[to[i]];j ++)
                f[j][0] = (f[j][0] + dp[to[i]][j][0] + dp[to[i]][j][1]) % mod;
            for(Rint j = 0;j <= K && j <= size[x];j ++)
                for(Rint k = 0;k <= K - j && k <= size[to[i]];k ++){
                    LL S = (dp[to[i]][k][0] + dp[to[i]][k][1]) % mod;
                    LL s1 = dp[x][j][0] * S % mod, s2 = dp[x][j][1] * (S + (k ? dp[to[i]][k - 1][1] : 0)) % mod;
                    f[j + k][0] = (f[j + k][0] + s1) % mod;
                    f[j + k][1] = (f[j + k][1] + s2) % mod;
                    ans[j + k] = (ans[j + k] + s1 + s2) % mod;
                }
            memcpy(dp[x], f, sizeof f);
            size[x] += size[to[i]];
        }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
    for(Rint i = 1;i < n;i ++){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b); add(b, a);
    }
    dfs(1, 0);
    S[0][0] = 1;
    for(Rint i = 1;i <= K;i ++)
        for(Rint j = 1;j <= i;j ++)
            S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + S[i - 1][j] * j) % mod;
    LL fac = 1, res = 0;
    for(Rint i = 1;i <= K;i ++){
        fac = fac * i % mod;
        res = (res + fac * S[K][i] % mod * ans[i] % mod) % mod;
    }
    printf("%lld", res);
}