辗转相除法求最大公约数

算法描述：

      对于整数x、y，用f（x，y）表示x、y的最大公约数。一个数能整除x、y ，则该数必能整除 y、x%y；一个数能整除y、x%y，则该数必能整除x、y（结尾证明）。这样便可将      原问题转化成更小的数的最大公约数，直到其中一个为0。

         即 f（x，y） = f（y， x%y）

        例如：f（42,30） = f（30,12） = f（12,6）= f（6,0 ）

算法实现：

      

int gcd( int x,  int y )
{
      return (!y)?x:gcd(x%y);
}

 

证明：

   对于x、y，存在k、r（k、r都是整数）使x = ky + r （ 0 <= r < y）。（ps： k = x/y,   r = x - ky = x%y ）

   令（x，y）表示x、y的最大公约数。则证明 （x，y）= （y，r ）

   设u = （x，y） 令 x = su ， y = tu

      则 r = x - ky = su - ktu = （s-kt）u  所以（y，r） = u  则有结论：x、y的公约数必定为 y、r的公约数。

    设v= （y，r） 令 y = s'v, r = t'v;

     则x = ks‘v + t’v = （ks‘ + t’）v；所以（x，y）= v  则有结论：y、r的公约数必定为x、y的公约数

   综上所述 x、y的公约数集合 和 y、r（即x%y） 的公约数集合相等。所以y、r的最大公约数也就是x、y的最大公约数。