Polya定理

Polya定理

置换群中的概念（数学表达）：
\(M=\frac{1}{G}\sum\limits_{i=1}^g m^c\)
G:表示置换的个数，m表示颜色种类(方案中不一定使用全部颜色)，c表示每种置换的循环节个数
注释：循环节个数解释:

\[\left[ \begin{array}{cc} 1&2&3&4\\ 1&4&3&2 \end{array} \right] \]

这为三个循环节，分别是[1],[3],[2,4];

\[\left[ \begin{array}{cc} 1&2&3&4\\ 4&1&2&3 \end{array} \right] \]

这是一个循环[1,2],[2,3],[3,4],[4,1],可以合并成[1];
目前认识到：置换分为两大类\(\begin{cases}\text{旋转:旋转i步的循环为gcd(i,n)}\\ \text{翻转:}\begin{cases}\text{n为奇数,c=n+1/2}\\\text{n为偶数}\frac{1}{2}c=n/2,\frac{1}{2}c=n/2+1\end{cases} \end{cases}\)
证明待补充
例题：
1.poj2409

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
inline int gcd(int a,int b){
 return b?gcd(b,a%b):a;
}
inline int poww(int a,int b){
 int ans=1;
 while(b){
    if(b&1)ans*=a;
    b>>=1;
    a*=a;
 }
 return ans;
}
int main(){
  while(1){
   scanf("%d%d",&m,&n);
   if(m==0&&n==0)break;
   int c=0;
   for(int i=0;i<n;++i)c+=poww(m,gcd(i,n));
   if(n&1)c+=n*poww(m,(n+1)/2);
   else c+=n/2*poww(m,n/2)+n/2*poww(m,n/2+1);
   cout<<c/(2*n)<<endl;
 }
   return 0;
}

2.poj2154解题报告

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int t,n,p,tot,cnt;
int prime[1000000],v[1000000];
inline void pre(){
	for(int i=2;i<=100000;++i){
		if(!v[i]){
			prime[++tot]=i;
			v[i]=i;
		}
		for(int j=1;j<=tot;++j){
			if(prime[j]*i>100000||prime[j]>v[i])break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
}
inline int poww(int a,int b){
     int ans=1;
     while(b){
     	if(b&1)ans=ans*a%p;
     		a=a*a%p;
     		b>>=1;
     }
     return ans%p;
}
inline int euler(int x){
	int ans=x;
	for(int i=1;i<=tot&&prime[i]*prime[i]<=x;++i){
		if(x%prime[i]==0){
            ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1);
            while(x%prime[i]==0)x/=prime[i];
		}
	}
	if(x>1)ans=ans/x*(x-1);
	return ans;
} 
int main(){
	pre();
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=t;++i){
       cin>>n>>p;
       int c=0;
       for(int j=1;j<=sqrt(n);++j){
       	 if(n%j==0){
       	 	c=(c+euler(n/j)%p*poww(n%p,j-1)%p)%p;
       	 	if(j*j!=n)c=(c+euler(j)%p*poww(n%p,n/j-1)%p)%p;
       	 }
       }
       cout<<c%p<<endl;
	}
	return 0;
}