树的直径 学习笔记
树的直径
define:树上最长链
solution：
1.树形dp
状态：d[x]，表示x到达以x为根子树的最远距离
转移： ans=max(ans,d[x]+d[y]+edge[i]);d[x]=max(d[x],d[y]+edge[i])
注意 ans的更新 ：因为转移顺序是底到根更新，走到yi时，d[x]已经储存了d[yj]的信息，并且，没有储存d[yi],则可用d[x]+d[yi]+e[x,yi]更新;
复杂度O（n）
优势：好写
缺点：难以记录路径
void dp(int x){
v[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=ver[i]){
int y=ver[i];
if(v[y])continue;
dp(y);
ans=max(ans,d[x]+d[y]+edge[i]);
d[x]=max(d[x],d[y]+edge[i]);
}
}
2.两边bfs/dfs
过程：first：任选一点x为根，bfs/dfs,更新到x的最远路径，记录到达点p
second：以点p为根,bfs/dfs,更新到p的最远路径，记录到达点q,则从p到q即为树的直径
证明：可以考虑反证法
假设此树的最长路径是从s到t,我们选择的点为u。反证法：假设搜到的点是v。
1、v在这条最长路径上：dis[u,v]>dis[u,v]+dis[v,s],显然矛盾。
2、v不在这条最长路径上：设点p在e（s,t）上：
dis[u,v]>dis[u,p]+dis[p,t]；
dis[s,v]=dis[s,p]+dis[p,u]+dis[u,v]；
dis[p,u]+dis[u,v]>dis[p,t];
dis[s,v]>dis[s,p]+dis[p,t]=dis[s,t]
dis[s,v]>dis[s,t],矛盾。
复杂度O（n）
优势：方便记录路径（记录路径，可以在第一遍bfs、dfs中记录前继来记录，而dp却显不出这样的的优势）
缺点:代码较长，难写
int bfs(int s){
memset(d,0x3f,sizeof(d));
d[s]=0;
pre[s]=0;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(d[y]==0x3f3f3f3f){
d[y]=d[x]+edge[i];
pre[y]=i;
q.push(y);
}
}
}
int y=1;
for(int x=1;x<=n;x++){
if(d[x]>d[y])y=x;
}
return y;
}
主程序中：
int p; p=bfs(1);//任意一点 p=bfs(p); ans=d[p];
例题：
APIO 2010(巡逻)
题面：给定一棵树：要求加k条边（边权为1），使得，从1开始走并回到1，当经过了所有点，走的路径最短；（1<=k<=2）
本实际上 加上一些边使部分边（L长）连成环，则可以少走（L-1)路径长
so：找到树上最长链即树的直径，可以使路径最短
当k=1，可以直接输出2（n-1）-（L-1）
但是当k=2，考虑到可能有重合，我们可以在第一遍找直径时，将此直径所有的点标记为-1，可以避免环重合
因此：因为第一遍我们需要记录直径路径，故使用两边bfs，将直径上的路径处理为-1；之后即可以树形dp一遍
代码如下
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXX=100005;
queue<int>q;
int head[MAXX],ver[MAXX*2],edge[MAXX*2],nxt[MAXX*2];
int d[MAXX],pre[MAXX],f[MAXX];
bool v[MAXX];
int n,k,p,tot=1,ans;
void add(int x,int y,int z){
ver[++tot]=y;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
edge[tot]=z;
}
int bfs(int s){
memset(d,0x3f,sizeof(d));
d[s]=0;
pre[s]=0;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(d[y]==0x3f3f3f3f){
pre[y]=i;
d[y]=d[x]+edge[i];
q.push(y);
}
}
}
int x,y;
for( x=y=1;x<=n;x++){
if(d[x]>d[y])y=x;
}//找到端点
return y;
}
void dp(int x){
v[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(v[y])continue;
dp(y);
ans=max(ans,f[x]+f[y]+edge[i]);
f[x]=max(f[x],f[y]+edge[i]);
}
}
void change(){
for(;pre[p];p=ver[pre[p]^1])edge[pre[p]]=edge[pre[p]^1]=-1;
//取反操作，ver[pre[p]^1],实际上是反边的终点，也就是p的前继
//因为tot=1；++tot，边从2开始记录，2^1=3，即2,3互为反边
}
int main(){
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
int x,y;
cin>>x>>y;
add(x,y,1);
add(y,x,1);
}
p=bfs(1);
p=bfs(p);
int l1=d[p];
if(k==1){
cout<<2*(n-1)-(l1-1)<<endl;
}else {
change();
dp(1);
cout<<2*(n-1)-(l1-1)-(ans-1)<<endl;
}
return 0;
}
