OI loves Algorithm——后缀数组

最近 NFLS 周赛，F 题需要后缀数组，我不会，光荣掉到 20+ 名。

打完后就去补习了相关知识，觉得很巧妙，就来写了一篇专栏

1. 后缀数组的定义

后缀数组（SA）保存的是一个字符串所有后缀的排序结果，其中第 SA[i] 表示所有后缀中第 $ i $ 小的后缀的开头位置。

与之相对的是名次数组 Rank，Rank[i] 表示以 $ i $ 开头的后缀排第几位。

举个栗子：

str: a a a b a a b a
SA:  8 1 5 2 6 3 7 4
Rank:2 4 6 8 3 5 7 1

2. 求法

有两种方法倍增和 DC3，但我太菜了，只会倍增算法。

2.1. 倍增

倍增，就是通过 $ i $ 步的答案推出 $ 2i $ 步的答案，从而在 $ O(\log n) $ 的时间内推出答案。那它跟后缀数组有什么关系呢？

假设我们已经求出了每个 $ i \sim i + 1 $ 的子串的 Rank：

str: a a a b a a b a
Rnk2:2 2 3 4 2 3 4 1

考虑将两个字符和两个字符拼在一起成为四个字符。

实际上，我们只需要将 Rank 拼在一起即可。为什么呢？

考虑将这样的二元组进行比较：

aaab Rank: (2, 3)
aaba Rank: (2, 4)
因为 Rank 反映了字典序情况，所以比较 Rank 相当于比较字典序
First: 2 = 2 相当于比较前两个字符的字典序
Second:2 < 4 相当于比较后两个字符的字典序

回到我们刚才的例子：

Rnk2:2 2 3 4 2 3 4 1
1st: 2 2 3 4 2 3 4 1
2nd: 3 4 2 3 4 1 0 0 （没有时视为 0，是最小的序列）
Rnk4:2 3 5 7 3 4 6 1

于是我们就不断把子串拼接拼接再拼接，拼接足够多次直到长度 $ \ge n $ 即可。

使用基数排序，我们就可以 $ O(n \log n) $ 求出答案。

2.2. DC3

<++>（待更）

3. 实际应用

<++>（待更）