Codeforces #816 1715 C

题面

假设我们有一个函数 $ g(1, n) $ 表示 $ i = 1 \sim n - 1 $ 中满足 $ a_i \neq a_{i + 1} $ 的 $ i $ 的数量。
现在有 $ m $ 个询问，每个询问将会让 $ x \rightarrow a_i $ 。
你需要在每次询问后求出 $ \sum_{l = 1}^{n} \sum_{r = l}^{n} g(l, r) $ 。

思路

着手于 $ a_i \neq a_{i + 1} $ 这个条件。
我们把满足 $ a_i \neq a_{i + 1} $ 的 $ i $ 右边，$ i + 1 $ 左边的空隙称为“断点”。显而易见，“断点”的数量 $ + 1 $ 就是 $ g(1, n) $ 。
对于一个断点，它被包含在子串里，则子串的 $ g + 1 $ 。
那么我们对于一个断点，统计它左边有多少个元素，右边有多少个元素，一乘，就能得到这个断点对答案的“贡献”。
这样就能求开始时的 $ \sum_{l = 1}^{n} \sum_{r = l}^{n} g(l, r) $ 了。

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现在我们需要改变元素。
显然，一个元素的更改，只会影响它左边和右边的断点（如果有）。
（也就是 $ i - 1 $ 和 $ i $）
那就先减掉，更改完后，再加回来。

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记得要加 $ \frac{n(n + 1)}{2} $ ，即 $ 1 + 2 + \cdots + n $ 。
这样做的原因是……
是……
是 $ + 1 $ ！
那么我们统计所有的 $ [l, r] $：

• $ l = 1 $ ，有 $ n $ 条；
• $ l = 2 $ ，有 $ n - 1 $ 条；
• ……
• $ l = n $ ，有 $ 1 $ 条。

所以要 $ 1 + 2 + \cdots + n $ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[100005];
bool joint[100005];

int main() {
	int n, m;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (a[i] != a[i + 1]) {
			joint[i] = 1;
		}
	}
	long long ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans += 1ll * joint[i] * (i) * (n - i);
	}
	while (m--) {
		int i, x;
		scanf("%d %d", &i, &x);
		ans -= 1ll * joint[i - 1] * (i - 1) * (n - i + 1);
		ans -= 1ll * joint[i] * (i) * (n - i);
		a[i] = x;
		joint[i - 1] = a[i - 1] != a[i];
		joint[i] = a[i] != a[i + 1];
		ans += 1ll * joint[i - 1] * (i - 1) * (n - i + 1);
		ans += 1ll * joint[i] * (i) * (n - i);
		printf("%lld\n", ans + 1ll * n * (n + 1) / 2);
	}
	return 0;
}