洛谷 P2258 子矩阵

前言

那个 Atcoder Beginner 263 的 E 还真是恶心……
呃，我什么也没说，我什么也没说……

正文

题意

有个 $n \times m$ 的矩阵，从里面选 $r$ 行 $c$ 列出来。
问这 $r$ 行 $c$ 列的交叉点“相邻元素的差”的和最少为多少。

$60 pts$

思路

直接暴力枚举。
先枚举 $r$，再枚举 $c$。

时间复杂度：$O(C _{n} ^ {r} C _{m} ^{c} rc)$

空间复杂度：$O(r + c)$

代码

代码就不放了，谁都会写。

$100 pts$

思路

是不是有很多人觉得满分根本不用枚举，$O(n^k)$ 的暴力就搞定了？
我告诉你们吧，正解还是要枚举的……
先选出 $r$ 行来，然后再来 $DP$。
定义 $f_{i, j}$ 为前 $i$ 列选 $j$ 列，第 $i$ 列必须选，和最小为多少。
容易得到 $f_{i, j} = f_{k, j - 1} + sg_{i} + tc_{k, i} (j - 1 \le k \lt i)$，其中 $sg_{i}$ 为单单第 $i$ 列的差之和（single），而 $tc_{i, j}$ 为单单第 $i$ 列与第 $j$ 列横向的差之和（two columns）。

---

好了，天真的我以为这样就结束了。
然而……

• 随时都 $DP$：
  1. $DFS$
  2. 暴力处理 $sg, tc$
  3. $DP$
• 边界有两个：
  1. $f_{i, 1} = sg_{i}$。只选一列，第 $i$ 列还必须选，你不选谁选。
  2. $f_{i, i} = f_{i - 1, i - 1} + sg_{i} + tc_{i - 1, i}$。全部选了，这列自己算一下，和前一列也算一下，多层递推得出答案。
• 循环要注意：
  • $DFS$ 用 $r$ 层，循环那一列时是 $m$ 。
  • $tc$ 的 $i, j$ 是 $m$，枚举行 $k$ 时是 $r$。
  • 最后在状态转移方程里的 $k$ 是 $[j - 1, i)$。

总之，我想到的用山峰的高度表示是：
1 2 3 5 7 8 10 （一路顺风）
实际上的是：
1 100 1 100 1 100 1 （坎坷不平）
AZ……

---

时间复杂度：$O(C _{n} ^{r} m^{2})$

空间复杂度：$O(m^{2})$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[20][20];
int choose[20];
int f[20][20];

int ans = 0x3f3f3f3f;
int n, m, r, c;
int yyy_2013_OI[20], yyy_2013_Math[20][20];

void brute_force() {
	for (int j = 1; j <= m; j++) {
		yyy_2013_OI[j] = 0;
		for (int i = 1; i <= r - 1; i++) {
			yyy_2013_OI[j] += abs(a[choose[i]][j] - a[choose[i + 1]][j]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = i + 1; j <= m; j++) {
			yyy_2013_Math[i][j] = 0;
			for (int k = 1; k <= r; k++) {
				yyy_2013_Math[i][j] += abs(a[choose[k]][i] - a[choose[k]][j]);
			}
		}
	}
}

void dp() {
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= min(i, c); j++) {
			if (j == 1) {
				f[i][j] = yyy_2013_OI[i];
			} else if (j == i) {
				f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + yyy_2013_OI[i] + yyy_2013_Math[i - 1][i];
			} else {
				f[i][j] = 0x3f3f3f3f;
				for (int k = j - 1; k <= i - 1; k++) {
					f[i][j] = min(f[i][j], f[k][j - 1] + yyy_2013_OI[i] + yyy_2013_Math[k][i]);
				}
			}
			if (j == c) {
				ans = min(ans, f[i][c]);
			}
		}
	}
}

void dfs(int lvl) {
	if (lvl == r + 1) {
		brute_force();
		dp();
		return;
	}
	for (int i = choose[lvl - 1] + 1; i <= n; i++) {
		choose[lvl] = i;
		dfs(lvl + 1);
		choose[lvl] = 0;
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &r, &c);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			scanf("%d", &a[i][j]);
		}
	}
	dfs(1);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

感谢你能看到这儿，来一个推荐吧！！！