前缀和与差分
前缀和与差分
前缀和
定义:前缀和可以简单理解为「数列的前 n 项的和」,是一种重要的预处理方式,能大大降低查询的时间复杂度。
一维前缀和
原理
数组sum用于储存前 i 个元素的和, 数组a为原数组
sum[0] = a[0] = 0
sum[1] = a[1]
sum[2] = sum[1] + a[2] = a[1] + a[2]
sum[3] = sum[2] + a[3] = a[1] + a[2] + a[3]
sum[n] = sum[n - 1] + a[n] = a[1] + ..... + a[n]
由此我们可以得出:sum[i] = sum[i - 1] + a[i] 这一递推公式
模板
for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
时间复杂度:O(n)
二维前缀和
原理
如图所示,黑色边框为a[1][1]到a[i][j]之间所有元素的和(sum[i][j]),蓝色边框为a[1][1]到a[i - 1][j]之间所有元素的和(sum[i - 1][j]),橙色边框为a[1][1]到a[i][j - 1]之间所有元素的和(sum[i][j - 1])。
观察图的面积关系,我们可以得到这一递推关系:
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i] 这一递推关系即为二维前缀和的递推公式。
模板
for (int i = 1;i <= n;i++) for (int j = 1;j <= m;j++) sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
时间复杂度:O(n * m)
模板题:二维前缀和
参考代码:代码
与前缀和有关的题目
参考代码:代码
差分
类似于数学中的求导和积分,差分可以看成前缀和的逆运算。
一维差分
原理
一维差分数组其实就是原数组中该位置的元素减去上一位置的元素
如代码所示:
数组s为差分数组,数组a为原数组。
void insert(int l, int r, int y) { s[l] = s[l] + y; s[r + 1] = s[r + 1] - y; } for (int i = 1;i <= n;i++) insert(i, i, a[i]); 在对数组a的遍历之时,差分数组s在 i 的位置加上原数组a在 i 位置的值,在 i + 1 位置减去原数组a在 i 位置的值,同理在 i - 1 位置时,s在 i - 1 的位置也减去了原数组在 i - 1 位置的值, 因此 s[i] = a[i] - a[i - 1]。
模板
void insert(int l, int r, int y) { s[l] = s[l] + y; s[r + 1] = s[r + 1] - y; }
时间复杂度:O(n)
模板题:一维差分
参考代码:代码
二维差分
原理
二维差分可以类似于一维差分进行理解
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int y) { s[x1][y1] = s[x1][y1] + y; s[x2 + 1][y1] = s[x2 + 1][y1] - y; s[x1][y2 + 1] = s[x1][y2 + 1] - y; s[x2 + 1][y2 + 1] = s[x2 + 1][y2 + 1] + y; } for (int i = 1;i <= n;i++) for (int j = 1;j <= m;j++) insert(i, j, i, j, q[i][j]);
s[x1][ y1 ] +=c ; 让整个s数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
s[x1,][y2+1]-=c ; 让整个s数组中绿色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
s[x2+1][y1]- =c ; 让整个s数组中紫色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
s[x2+1][y2+1]+=c; 让整个s数组中红色矩形面积的元素再加上c,红色内的相当于被减了两次,再加上一次c,才能使其恢复。
模板
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int y) { s[x1][y1] = s[x1][y1] + y; s[x2 + 1][y1] = s[x2 + 1][y1] - y; s[x1][y2 + 1] = s[x1][y2 + 1] - y; s[x2 + 1][y2 + 1] = s[x2 + 1][y2 + 1] + y; }
时间复杂度:O(n * m)
模板题:二维差分
参考代码:代码
与差分有关的题目
参考代码:代码
本文作者:APF
本文链接:https://www.cnblogs.com/APFLY/p/18327456
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