HDU 4919 Exclusive or 数学

题意：

定义

\[f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n-1}(i\oplus (n-i)) \]

求\(f(n),n \leq 10^{500}\)

分析：

这个数列对应OEIS的A006582
先上公式：

\[f(n)=\left\{\begin{matrix} 4f(k)+6k,n=2k+1\\ 2f(k)+2f(k-1)+4k-4,n=2k \end{matrix}\right.\]

递推的思路就是虽然不知道两个数的异或值，但是如果知道这两个数的奇偶性那么结果的奇偶性也就知道了。

还有一个公式：\(2a \oplus 2b = 2(a \oplus b)\)，这个也很容易理解。

下面开始证明：

• \(n=2k+1\)时：

\(\; \; \; \; \sum\limits_{i=1}^{n-1}(i\oplus (n-i))\)
\(=2\sum\limits_{i=1}^{k}((2i) \oplus (n-2i))\)
\(=2\sum\limits_{i=1}^{k}((2i) \oplus (2k-2i+1))\)
\(=2\sum\limits_{i=1}^{k}((2i) \oplus (2k-2i) + 1)\)
\(=2\sum\limits_{i=1}^{k}((2i) \oplus (2k-2i)) + 2k\)
\(=4\sum\limits_{i=1}^{k}((i) \oplus (k-i)) + 2k\)
\(=4\sum\limits_{i=1}^{k-1}((i) \oplus (k-i)) + 4(k \oplus (k-k)) + 2k\)
\(=4f(k)+6k\)

• \(n-2k\)时：

\(\; \; \; \; \sum\limits_{i=1}^{n-1}(i\oplus (n-i))\)
\(=\sum\limits_{i=1}^{k-1}((2i) \oplus (n-2i)) + \sum\limits_{i=0}^{k-1}((2i+1) \oplus (n-2i-1))\)



\(\; \; \; \; \sum\limits_{i=1}^{k-1}((2i) \oplus (n-2i))\)
\(=\sum\limits_{i=1}^{k-1}((2i) \oplus (2k-2i))\)
\(=2\sum\limits_{i=1}^{k-1}(i \oplus (k-i))\)
\(=2f(k)\)



\(\; \; \; \; \sum\limits_{i=0}^{k-1}((2i+1) \oplus (n-2i-1))\)
\(=\sum\limits_{i=0}^{k-1}((2i) \oplus (2k-2i-2))\)，两边都是奇数，把末位的\(1\)去掉后异或值不变
\(=2\sum\limits_{i=0}^{k-1}i \oplus (k-1-i)\)
\(=2\sum\limits_{i=1}^{k-2}i \oplus (k-1-i) + 2(0 \oplus (k-1)) + 2((k-1) \oplus 0)\)
\(=2f(k-1)+4k-4\)

所以：
\(\; \; \; \; \sum\limits_{i=1}^{n-1}(i\oplus (n-i))\)
\(=\sum\limits_{i=1}^{k-1}((2i) \oplus (n-2i)) + \sum\limits_{i=0}^{k-1}((2i+1) \oplus (n-2i-1))\)
\(=2f(k)+2f(k-1)+4k-4\)

推导完毕。

最后用Java大数记忆化搜索。

import java.util.*;
import java.io.*;
import java.math.*;

public class Main {
	public static BigInteger one = BigInteger.valueOf(1);
	public static BigInteger two = BigInteger.valueOf(2);
	public static BigInteger four = BigInteger.valueOf(4);
	public static BigInteger six = BigInteger.valueOf(6);
	public static HashMap<BigInteger, BigInteger> map = new HashMap<BigInteger, BigInteger>();

	public static BigInteger F(BigInteger n) {
		if(map.containsKey(n)) return map.get(n);
		BigInteger k = n.divide(two);
		BigInteger odd = n.mod(two);
		BigInteger ans;
		if(odd.compareTo(one) == 0) {
			ans = F(k).multiply(four).add(k.multiply(six));
		} else {
			ans = F(k).multiply(two);
			ans = ans.add(F(k.subtract(one)).multiply(two));
			ans = ans.add(k.multiply(four)).subtract(four);
		}
		map.put(n, ans);
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		map.put(BigInteger.ZERO, BigInteger.ZERO);
		map.put(BigInteger.ONE, BigInteger.ZERO);
		while(cin.hasNext()) {
			BigInteger n = cin.nextBigInteger();
			System.out.println(F(n));
		}
		cin.close();
	}
}